Indução matemática

por **TiagoFERD** » Dom Mar 04, 2012 10:08

$x=\sum_{n=0}^n \ 10^k \ = 10 (\frac{1-10^n} {-9} )$

para n=1

fica 10=10

hip. ind.

$x=\sum_{n=0}^k \ 10^k \ = 10 (\frac{1-10^k} {-9} )$

tese k+1

[tex]x=\sum_{n=0}^n \ 10^k^+^1 \ = 10 (\frac{1-10^k^+^1)} {-9} )[/tex

a partir daqui não sei o que fazer :(

Obrigado.

por **LuizAquino** » Dom Mar 04, 2012 16:01

TiagoFERD escreveu: $x = \sum_{n=0}^n 10^k = 10 \left(\frac{1-10^n} {-9} \right)$

Do jeito que está, essa relação é falsa. O correto seria:

$\sum_{k=1}^n 10^k = 10 \left(\frac{1-10^n} {-9} \right)$

TiagoFERD escreveu:para n=1

fica 10=10

Ok, desde que considere a relação que citei acima.

TiagoFERD escreveu:hip. ind.

$x = \sum_{k=0}^n 10^k = 10 \left(\frac{1-10^n} {-9} \right)$

A hipótese correta seria:

$\sum_{k=1}^n 10^k = 10 \left(\frac{1-10^n} {-9} \right)$

TiagoFERD escreveu:tese k+1

$x=\sum_{n=0}^n 10^{k+1} = 10 \left(\frac{1-10^{k+1}} {-9}\right)$

a partir daqui não sei o que fazer :(

A tese seria:

$\sum_{k=1}^{n+1} 10^{k} = 10 \left(\frac{1-10^{n+1}} {-9}\right)$

Comece fazendo o seguinte:

$\sum_{k=1}^{n+1} 10^{k} = \sum_{k=1}^{n} 10^{k} + \sum_{k=n+1}^{n+1} 10^{k} = 10^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} 10^{k}$

Agora use a hipótese de indução.

por **TiagoFERD** » Dom Mar 04, 2012 18:28

LuizAquino escreveu:
TiagoFERD escreveu: $x = \sum_{n=0}^n 10^k = 10 \left(\frac{1-10^n} {-9} \right)$

Do jeito que está, essa relação é falsa. O correto seria:

$\sum_{k=1}^n 10^k = 10 \left(\frac{1-10^n} {-9} \right)$

TiagoFERD escreveu:para n=1

fica 10=10

Ok, desde que considere a relação que citei acima.

TiagoFERD escreveu:hip. ind.

$x = \sum_{k=0}^n 10^k = 10 \left(\frac{1-10^n} {-9} \right)$

A hipótese correta seria:

$\sum_{k=1}^n 10^k = 10 \left(\frac{1-10^n} {-9} \right)$

TiagoFERD escreveu:tese k+1

$x=\sum_{n=0}^n 10^{k+1} = 10 \left(\frac{1-10^{k+1}} {-9}\right)$

a partir daqui não sei o que fazer :(

A tese seria:

$\sum_{k=1}^{n+1} 10^{k} = 10 \left(\frac{1-10^{n+1}} {-9}\right)$

Comece fazendo o seguinte:

$\sum_{k=1}^{n+1} 10^{k} = \sum_{k=1}^{n} 10^{k} + \sum_{k=n+1}^{n+1} 10^{k} = 10^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} 10^{k}$

Agora use a hipótese de indução.

Obrigado mas eu desisto não consigo mesmo fazer isso. :(

por **LuizAquino** » Dom Mar 04, 2012 22:51

TiagoFERD escreveu:Obrigado mas eu desisto não consigo mesmo fazer isso. :(

Qual foi a sua dificuldade em continuar do ponto que parei? Envie a sua tentativa para que possamos corrigi-la.

por **TiagoFERD** » Seg Mar 05, 2012 18:00

Ora,

$= 10^{n+1} + 10 (\frac{1-10^n} {-9}) \right)$

$10^{n+1} + (\frac{10-100^n} {-9})$

e desenvolvo até o fim?

Obrigado

por **LuizAquino** » Seg Mar 05, 2012 18:43

TiagoFERD escreveu:Ora,

$= 10^{n+1} + 10 \left(\frac{1-10^n} {-9} \right)$

$10^{n+1} + \left(\frac{10-100^n} {-9}\right)$

e desenvolvo até o fim?

Sim, você deve desenvolver, arrumando a expressão de uma forma conveniente.

Entretanto, você cometeu um erro.

Lembre-se que $10\cdot 10^n$ é igual a $10^{n+1}$ , e não 100^n

como você escreveu.

Agora tente terminar.

por **TiagoFERD** » Seg Mar 05, 2012 18:55

Ja consegui! até fiz outras que tinha ficado pendente!

vou por no forum amanhã a resolução delas, pode sempre ajudar alguem aflito

Muito Obrigado Luiz :y: