PG/Trigonometria

por **jessicaccs** » Ter Mar 08, 2011 19:55

Boa noite,
gostaria de ajuda nessa questão:

As alternativas são:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Tentei resolvê-la através da propriedade da PG que diz que um termo médio de dois equidistantes deste é a média geométrica dos dois números.
Entretanto, não consegui resolver.

Obrigada,
Jéssica.

por **LuizAquino** » Qua Mar 09, 2011 21:28

Sabemos que em uma p.g. é válido que $\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$ , com a_1

e

não nulos. Disso, nós obtemos que:

$\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\tan x}{\cos x}$

$\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

$\sin^2 x = \cos^3 x$ (vamos identificar essa equação como (a))

$1 - \cos^2 x = \cos^3 x$

Dividindo tudo por $\cos^2 x$ :

$\frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \cos x$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \cos x + 1$ (vamos identificar essa equação como (b))

Sabemos que o termo geral de uma p.g. é dado por $a_n = a_1 q^{n-1}$ , onde q é a razão. Desse modo, temos que $a_n = \sin x \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{n-1}$ .

Nós queremos determinar n tal que $\sin x \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{n-1} = 1 + \cos x$ .

Note que para n=8, nós temos que:

$a_8 = \sin x \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{8-1}$

$a_8 = \sin x \left(\frac{\cos^6 x \cdot \cos x}{\sin^4 x\cdot \sin^2 x \cdot \sin x}\right)$

Usando a equação (a) e fazendo as simplificações necessárias, nós obtemos:

$a_8 = \frac{1}{\cos^2 x}$

Agora, usando a equação (b) concluímos que o número n procurado é 8.

por **jessicaccs** » Qua Mar 09, 2011 22:18

Obrigada pela resolução, Luiz.
Só gostaria que você tirasse uma dúvida que fiquei.
Por que você adotou o número 8 dentre tantos outros que poderiam ser?
Obrigada.

por **LuizAquino** » Qua Mar 09, 2011 23:31

jessicaccs escreveu:Por que você adotou o número 8 dentre tantos outros que poderiam ser?

Nesse caso eu adotei n = 8 devido as opções dadas no gabarito. Mas, poderíamos ter feito de outra maneira.

Nós queremos determinar n tal que $\sin x \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{n-1} = 1 + \cos x$ .

Lembrando-se das equações (a) e (b), nós podemos armar a seguinte equação exponencial (na qual a base é $\cos x$ ):
$(\cos x)^{\frac{3}{2}} \left[\frac{\cos x}{(\cos x)^{\frac{3}{2}}}\right]^{n-1} = (\cos x)^{-2}$

$(\cos x)^{\frac{3}{2} - \frac{(n-1)}{2}} = (\cos x)^{-2}$

$\frac{3}{2} - \frac{(n-1)}{2} = -2$

n = 8

por **jessicaccs** » Sex Mar 11, 2011 16:22

Obrigada, Luiz Aquino.

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