PA - Questão ITA

por **jessicaccs** » Ter Mar 08, 2011 19:33

Boa tarde,
gostaria da ajuda, se possível, na resolução dessa questão do ITA.

Tentei resolvê-la adotando valores para o k, como de costume. Para k=1, achei $a{}_{3}$ , adotando esse como sendo a soma de $a{}_{1}\,+\,a{}_{2}\,+\,a{}_{3}$ . Novamente, adotei k=2 e achei $a{}_{6}$ , em seguida adotei o mesmo pensamento anterior. A partir daí adotei o conceito de PA nas duas equações, resolvi o sistema e consegui achar o que foi pedido.
Entretanto, minha resposta está diferente da do livro.
Achei:

$r=2\pi\:e\:a{}_{1}=\sqrt[]{2}+\pi$ .

Sendo a resposta:
$a{}_{1}=\sqrt[]{2}-\frac{\pi}{3}\:e\:r=\frac{2\pi}{3}$

Obrigada pela ajuda,
Jéssica.

por **LuizAquino** » Ter Mar 08, 2011 21:05

Temos o somatório $\sum_{k=1}^{n}\,a{}_{3k}\,=n\sqrt{2} + \pi n^{2}$ , para $n\in\,N{}^{*}$ .

Para n=1, temos que:

$\sum_{k=1}^{1}\,a{}_{3k} = 1\cdot \sqrt{2} + \pi \cdot 1^2$

$a_{3\cdot 1} = \sqrt{2} + \pi$

$a_{3} = \sqrt{2} + \pi$

Para n=2, temos que:
$\sum_{k=1}^{2}\,a{}_{3k} = 2\cdot \sqrt{2} + \pi \cdot 2^2$

$a_{3\cdot 1} + a_{3\cdot 2} = 2\sqrt{2} + 4\pi$

$a_3 + a_6 = 2\sqrt{2} + 4\pi$

Mas, como $a_3 = \sqrt{2} + \pi$ , então $a_6 = \sqrt{2} + 3\pi$ .

Agora, basta você resolver o sistema:
$\begin{cases} a_3 = a_1 + 2r \\ a_6 = a_1 + 5r \end{cases}$