Progressão geometrica 3

por **DanielRJ** » Seg Out 04, 2010 15:28

Oá pessoal to com uma dificuldade nesta questão fiz varias e varias vezes e não obtive êxito.

(UECE) Seja ( a1 , a2 , a3 ,.....) uma progressão geometrica crescente. Se $a_1=\frac{2}{3}$ e $\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{a_1+a_2}=5$ , então a_6-a_2

é igual a:

a)14/3
b)28/3
c)10
d)20

Bom é isso pelos meus calculos aqui cheguei a esta expressãoo calculo da razão, então eria sabe onde cometi um equivoco:

2q^3+2q^2-8q-8=0

q=8 , $\not {q=\not 0}$ , $\not q=\not 0$ , $\not q=\not -1$

como é crescente q=8

por **MarceloFantini** » Seg Out 04, 2010 18:15

Se é uma progressão geométrica crescente, então q > 1

. Essa informação será importante. Pelos dados do enunciado, temos que:

$a_1 = \frac{2}{3}$

$\frac{S_4}{S_2} = 5$

Vamos expandir a segunda equação:

$S_4 = \frac{a_1 \cdot (q^4 -1)}{q - 1}$

$S_2 = \frac{a_1 \cdot (q^2 -1)}{q - 1}$

$\frac{S_4}{S_2} = \frac{ \frac{a_1 \cdot (q^4 -1)}{q - 1} } { \frac{a_1 \cdot (q^2 -1)}{q - 1} } = \frac {q^4 -1}{q^2 -1} = \frac{(q^2 +1)(q^2 -1)}{q^2 -1} = q^2 +1 = 5$

Logo, q = 2

.

Portanto, $a_6 - a_2 = a_1 \cdot q^5 - a_1 \cdot 1 = a_1 q (q^4 -1) = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot (2^4 -1) = \frac{4}{3} \cdot 15 = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 5 = 20$

Alternativa D.

por **DanielRJ** » Seg Out 04, 2010 22:44

Fantini escreveu:Se é uma progressão geométrica crescente, então . Essa informação será importante. Pelos dados do enunciado, temos que:

$a_1 = \frac{2}{3}$

$\frac{S_4}{S_2} = 5$

Vamos expandir a segunda equação:

$S_4 = \frac{a_1 \cdot (q^4 -1)}{q - 1}$

$S_2 = \frac{a_1 \cdot (q^2 -1)}{q - 1}$

$\frac{S_4}{S_2} = \frac{ \frac{a_1 \cdot (q^4 -1)}{q - 1} } { \frac{a_1 \cdot (q^2 -1)}{q - 1} } = \frac {q^4 -1}{q^2 -1} = \frac{(q^2 +1)(q^2 -1)}{q^2 -1} = q^2 +1 = 5$

Logo, .

Portanto, $a_6 - a_2 = a_1 \cdot q^5 - a_1 \cdot 1 = a_1 q (q^4 -1) = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot (2^4 -1) = \frac{4}{3} \cdot 15 = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 5 = 20$

Alternativa D.

Bom obrigado. eu peguei as duas somas coloquei tudo em função de A1 e expandi. porque o resultado tambem não saiu correto?

por **MarceloFantini** » Seg Out 04, 2010 22:58

Não entendi o que você quer dizer. Pode dar a dedução inteira?

por **DanielRJ** » Seg Out 04, 2010 23:26

Fantini escreveu:Não entendi o que você quer dizer. Pode dar a dedução inteira?

Assim:

e depois substitui os a_1

então queria saber porque não deu certo.

por **MarceloFantini** » Ter Out 05, 2010 00:00

teVeja se o que você tentou foi isso:

$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{a_1 + a_2} = \frac{a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + a_1 \cdot q^3}{a_1 + a_1 \cdot q} = \frac{a_1 \cdot (1 + q + q^2 + q^3)}{a_1 \cdot (1 + q)} = \frac{1 + q + q^2 + q^3}{1 + q} = 5 \rightarrow q^3 + q^2 -4q -4 = 0 \rightarrow q^2 \cdot (q +1) - 4 \cdot (q+1) = 0 \rightarrow (q^2 -4) \cdot (q+1) = 0$

Daí, tiramos que q=-1

,

ou

. Como a progressão é crescente, a única possibilidade é q=2

. Foi isso que você fez, ou que queria ter feito?

por **DanielRJ** » Ter Out 05, 2010 01:18

Fantini escreveu:teVeja se o que você tentou foi isso:

$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{a_1 + a_2} = \frac{a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + a_1 \cdot q^3}{a_1 + a_1 \cdot q} = \frac{a_1 \cdot (1 + q + q^2 + q^3)}{a_1 \cdot (1 + q)} = \frac{1 + q + q^2 + q^3}{1 + q} = 5 \rightarrow q^3 + q^2 -4q -4 = 0 \rightarrow q^2 \cdot (q +1) - 4 \cdot (q+1) = 0 \rightarrow (q^2 -4) \cdot (q+1) = 0$

Daí, tiramos que , ou . Como a progressão é crescente, a única possibilidade é . Foi isso que você fez, ou que queria ter feito?

è foi isso mesmo percebi que coloquei em evidencia erradamente obrigado ¬¬