Problema das Bandeiras

[Joana Gabriela]

A direção de uma escola decidiu enfeitar o pátio com bandeiras coloridas. As bandeiras foram colocadas em
linha reta, na seguinte ordem: 1 bandeira vermelha, 1 azul, 2 vermelhas, 2 azuis, 3 vermelhas, 3 azuis, e
assim por diante.
Depois de colocadas exatamente 99 bandeiras, o número das de cor azul era:
A) 55
B) 60
C) 50
D) 45

[Joana Gabriela]

Tem resposta não é?

[Douglasm]

Olá Joana. Pensemos primeiro no seguinte, estamos sempre somando 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + ... ; ou seja estamos somando 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... ). Sendo assim, é interessante procurarmos uma soma de números naturais que nos aproxime mais de 99. Sabemos que essa soma é dada por:



Lembrando que estamos somando dobrado, temos:



Após poucas tentativas, chegamos a n como sendo no máximo 9 (para n maior que 9, note que teremos 110 bandeiras, o que ultrapassaria o limite de 99). Esclarecendo um pouco mais, queremos descobrir quantas bandeiras foram postas, após a última soma "pareada" (que no caso é 9 vermelhas mais 9 azuis). Continuando:



Obviamente, se seguirmos a sequência, deveremos somar mais 10 vermelhas, 10 azuis, etc. Como só temos 99, as últimas a serem somadas foram 9 vermelhas. Finalizando, vemos que o total de bandeiras azuis é metade das 90 bandeiras pareadas, ou seja, é de 45 (alternativa d).