• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

progressões

progressões

Mensagempor solon » Qui Jul 23, 2015 17:57

seja (a1, a2, ..., an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q>0. O produto de seus termos é igual a 2^25 e o termo do meio é 2^5. Se a soma dos (n-1) primeiros termos é igual a 2(1+q)(1+q^2), então :
a) a1 + q =16
b) a1 + q =12
c) a1 + q = 10
d) a1 + q + n = 20
e) a1 + q + n = 11
solon
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 8
Registrado em: Ter Jul 14, 2015 02:02
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: matemática
Andamento: formado

Re: progressões

Mensagempor solon » Qui Jul 30, 2015 20:03

Como n é ímpar, então o termo do meio é ? a?_((n+1)/2).Digite a equação aqui.
A P.G. proposta é do tipo a_(1,) a_2, ..., a_((n+1)/2) , ..., a_n), (com razão q > 0.
Aplicando uma das propriedades da P.G., temos:
a_((n+1)/2 =) ?(a_1.a_(n ) ) ? a_1.a_n =??(? a?_((n+1)/2) )^2 ? ? a_1.a_n = (? 2 ?^5 )^2 ? a_1.a_n = 2^10
O produto dos n primeiros termos da P.G. (a_(1,) a_2, ..., a_((n+1)/2) , ..., n ), é dado por P_n= ?((?a_(1 ).a_n )?^n ) .
Substituindo P_n por 2^25 e a_1. a_n por 2^10 , vem:
P_n = ?((?a_(1 ).a_n)?^n ) ?2^25 = ?((??2^10?_ )?^n ) ? 2^25 = ?((??2^n?_ )?^10 ) ? 2^25 =? (2 ?^n )^5 ?
2^25 = 2^5n ? 5n = 25 ? n = 5
A soma dos (n – 1) primeiros termos dessa P.G. é dada por 2 ? ( 1 + q ) ? (1 + q^2 )
Como n = 5, o termo do meio é o terceiro, isto é:
a_3 = a_1? q^2 ? a_1 = a_3/q^2 ? a_(1 )= 32/q^2
Segue que:
S_4 = (a_1 ? ( q^4 -1 ))/(( q-1 )) ? S_4 = (32 ? [(q^2 )^2 -1 ])/(q^2 ? (q-1)) ? S_4 = (32 ?(q^2-1) ? (q^2-1))/(q^2 ? (q-1) ) ? S_4 = (32 ?(q^2+ 1) ? (q+1) ? (q-1))/(q^2 ? (q-1) )
Substituindo S_4 por 2? (1+q)? (1+ q^2 ), vem:
2 ? (1+q)? (1+q^2 ) = (32 ? (q^2+ 1) ? (q + 1) ? (q - 1))/(q^2 ? (q -1) ) ? 32/q^2 = 2 ? q^2 = 16 ? q = 4 ou q = -4 ( não convém, pois devemos ter q > 0 )
O primeiro termo é dado por: a_1 = 32/q^2 ? a_1 = 32/q^2 ? a_1 = 32/4^2 ? a_1 = 2
Como a_1 = 2, q = 4, n = 5, temos: a_1+ q +n=11
solon
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 8
Registrado em: Ter Jul 14, 2015 02:02
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: matemática
Andamento: formado

Re: progressões

Mensagempor solon » Sáb Ago 01, 2015 03:48

Como n é ímpar, então o termo do meio é {a}_{\frac{n+1}{2}}.
A P.G. proposta é do tipo ({a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{\frac{n+1}{2}},...,{a}_{n}), (com razão q > 0.
Aplicando uma das propriedades da P.G., temos:{a}_{\frac{n+1}{2}} = \sqrt[]{{a}_{1}.{a}_{n}}\rightarrow{a}_{1}.{a}_{n} = \left({\frac{n+1}{2}} \right)^{2}\rightarrow{a}_{1}.{a}_{n} = \left({2}^{5} \right)^{2}\rightarrow{a}_{1}.{a}_{n} = {2}^{10}
O produto dos n primeiros termos da P.G. ({a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{\frac{n+1}{2}},...,{a}_{n}) , é dado por P_n = \sqrt[]({{a}_{1}.{a}_{n}})^{n}. .
Substituindo P_n por {2}^{25} e {a}_{1}.{a}_{n} por {2}^{10}, vem:
P_n = \sqrt[]({{a}_{1}.{a}_{n}})^{n} \rightarrow{2}^{25} = \sqrt[]{({2}^{10})^{n}}\rightarrow{2}^{25} = \sqrt[]{({2}^{n})^{10}}\rightarrow{2}^{25} = {2}^{5n}\rightarrow 5n = 25\rightarrow n = 5
A soma dos (n – 1) primeiros termos dessa P.G. é dada por 2 ? ( 1 + q ) ? (1 + q^2 )
Como n = 5, o termo do meio é o terceiro, isto é:
a_3 = a_1.{q}^{2}\rightarrow  a_1 = \frac{{a}_{3}}{{q}^{2}} \rightarrow{a}_{1} = \frac{32}{{q}^{2}}
Segue que:
{s}_{4} = \frac{{a}_{1\left({q}^{4}-1 \right)}}{\left(q-1 \right)}\rightarrow{s}_{4} = \frac{32\left[\left({{q}^{2}} \right)^{2}-1 \right]}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}\rightarrow{s}_{4} = \frac{32\left({q}^{2}-1 \right).\left({q}^{2}-1 \right)}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}\rightarrow{s}_{4} = \frac{32\left({q}^{2}+1).\left(q+1 \right).\left(q-1 \right) \right)}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}
Substituindo{s}_{4} por 2.\left(1+q \right).\left(1+{q}^{2} \right)vem:
2.\left(1+q \right).\left(1+{q}^{2} \right) = \frac{32.\left({q}^{2}+1).\left(q+1 \right).\left(q-1 \right) \right)}{{q}^{2}.\left(q-1 \right)}\rightarrow\frac{32}{{q}_{2}} = 2\rightarrow{q}^{2} = 16 ? q = 4 ou q = -4 ( não convém, pois devemos ter q > 0 )
O primeiro termo é dado por:{a}_{1} = \frac{32}{{q}^{2}}\rightarrow{a}_{1} = \frac{32}{{4}^{2}}\rightarrow{a}_{1} = 2
Como a_1 = 2, q = 4, n = 5, temos: a_1+ q +n=11
solon
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 8
Registrado em: Ter Jul 14, 2015 02:02
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: matemática
Andamento: formado


Voltar para Progressões

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 8 visitantes

 



Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: