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Mensagempor solon » Ter Jul 21, 2015 01:56

queria que me mostrassem como resolver o seguinte problema: Seja (b1, b2, b3) uma progressão geométrica de razão maior do que 1. Se b1+b2+b3=91 e (b1+25, b2+27, b3+1) é uma progressão aritmética, então b1 é igual a : A resposta correta é 7, mas como chegar a esse resultado ?
solon
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Re: progressões

Mensagempor nakagumahissao » Ter Jul 21, 2015 11:04

Dados:

\left({b}_{1}, \,\, {b}_{2}, \,\, {b}_{3}  \right) \,\,\,\, PG \,\,\,\, [1]

\left({b}_{1} + 25, \,\, {b}_{2} + 27, \,\, {b}_{3} + 1 \right) \,\,\,\, PA \,\,\,\, [2]

{b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} = 91  \,\,\,\, [3]

q > 1

A razão da PG em [1] será:

q = \frac{{b}_{2}}{{b}_{1}} = \frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}

{{b}_{2}}^{2} = {b}_{1} {b}_{3}

{b}_{3} = \frac{{{b}_{2}}^{2}}{{b}_{1}} \,\,\,\,\, [4]

A razão na PA em [2] será:

r = {b}_{2} + 27 - ({b}_{1} + 25) = {b}_{3} + 1 - ({b}_{2} + 27)

r = {b}_{2} + 27 - {b}_{1} - 25 = {b}_{3} + 1 - {b}_{2} - 27

r = {b}_{2} - {b}_{1} + 2 = {b}_{3}- {b}_{2} - 26

{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} + {b}_{2} =  - 26 - 2

2{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28   \,\,\,\, [5]

Usando [3] em [5], observamos que:

{b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} = 91

2{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28

eles formam um sistema de equações e que, se somarmos ambas as equações, poderemos encontrar um dos valores. Somemos então as duas equações:

3{b}_{2}  = 63

{b}_{2}  = \frac{63}{3}

{b}_{2}  = 21

Agora, vamos substituir este valor em [3], [4] e [5]:

{b}_{1} + {b}_{2} + {b}_{3} = 91 \Rightarrow {b}_{1} + 21 + {b}_{3} = 91 \Rightarrow

\Rightarrow {b}_{1} + {b}_{3} = 70  \,\,\,\, [6]


{b}_{3} = \frac{{{b}_{2}}^{2}}{{b}_{1}} \Rightarrow {b}_{3} = \frac{{21}^{2}}{{b}_{1}} \Rightarrow

\Rightarrow {b}_{3} = \frac{441}{{b}_{1}} \,\,\,\,\, [7]


2{b}_{2} - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28 \Rightarrow 2 \times 21 - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28 \Rightarrow 42 - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 28 \Rightarrow

\Rightarrow - {b}_{1} - {b}_{3} =  - 70 \Rightarrow

\Rightarrow {b}_{1} + {b}_{3} = 70  \,\,\,\, [8]

Usando [7] em [6] ou [8], teremos:

{b}_{1} + {b}_{3} = 70 \Rightarrow {b}_{1} + \frac{441}{{b}_{1}} = 70 \Rightarrow

\Rightarrow {{b}_{1}}^{2} + 441 = 70{b}_{1} \Rightarrow {{b}_{1}}^{2} - 70{b}_{1} + 441 = 0

Desta última equação (quadrática) obtemos:

\Delta = b^2 - 4ac \Rightarrow \Delta = 4900 - 1764 \Rightarrow \Delta = 3136

\sqrt[]{\Delta} = 56

{b}_{1} = \frac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a} \Rightarrow

\Rightarrow {b}_{1} = \frac{70 \pm 56}{2} = 35 \pm 28

\therefore {b}_{1} = 63 \,\,\,\,\, ou \,\,\,\,\,\, {b}_{1} = 7


Com estes dois resultados, vamos agora obter através de [6] ou [8] o valor do terceiro termo da PA e da PG:

Usando 63 para o primeiro termo:

{b}_{1} + {b}_{3} = 70 \Rightarrow 63 + {b}_{3} = 70  \Rightarrow {b}_{3} = 70 - 63 \Rightarrow {b}_{3} = 7

Usando 7 para o primeiro termo:

{b}_{1} + {b}_{3} = 70 \Rightarrow 7 + {b}_{3} = 70  \Rightarrow {b}_{3} = 70 - 7 \Rightarrow {b}_{3} = 63

Agora, ficamos com estas duas possibilidades para a PG e a PA:

RESPOSTA 1:

PG - (63, 21, 7) => Razão: 1/3
PA - (63 + 25, 21 + 27, 7 + 1) = (88, 48, 8) => razão = -40

e

RESPOSTA 2:

PG - (7, 21, 63) => Razão: 3
PA - (7 + 25, 21 + 27, 63 + 1) = (32, 48, 64) => razão = 16

No enunciado, foi dado que a razão (q) deve ser maior que 1 (q > 1). Portanto, a única resposta possível para esta questão deverá ser a RESPOSTA 2, ou seja, o primeiro termo vale 7.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
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Re: progressões

Mensagempor solon » Ter Jul 21, 2015 12:43

valeu! obrigado por mostrar-me os métodos de resolução sobre as dúvidas que tive, assim só engrandece cada vez mais a difusão do conhecimento.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?