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Progressão geométrica (ITA)

Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Sex Mar 07, 2008 13:27

Boa tarde!

Qual é a solução geral da equação

sen^2x+sen^4x+sen^6x+sen^8x+sen^{10}x=5
?

Resposta: \{x \in \Re | x = \frac{\pi}{2} + n.\pi, n \in Z\}

Bom, usando a soma de termos finitos obtive:

5(1-sen^2x)=sen^2x(1-sen^{10}x)

5\frac{cos^2x}{sen^2x}=cos^{10}x

\frac{5}{sen^2x}=cos^{8}x

Desse ponto não enxerguei mais nada...
Mas olhando a equação vi que senx só pode ser 1 ou -1, já que a soma de 5 termos elevados a expoentes pares deu 5.
Gostara de saber como resolver essa equação...
Grata desde já!

Ananda
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 02:30

Olá Ananda!

Também há um outro colaborador pensando em sua dúvida.
Enquanto isso, verifique sua passagem.
1-sen^{10}x \neq cos^{10}x

Como exemplo da continuação da soma de termos, eu encontrei:

5cotg^2x = 1 - sen^{10}x

Até mais.
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 10:23

Bom dia!
É diferente porque entra naquela resolução com binômio, né?
Vou tentar hoje resolver novamente para ver se enxergo algo novo!
Grata!
Ananda
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 11:38

Bom dia, Ananda.

Então, eu percebi que você considerou igual, mas a relação fundamental da trigonometria é:
sen^2x + cos^2x = 1

Esta igualdade é falsa:
sen^{10}x + cos^{10}x = 1


Eu também já desenvolvi este binômio do terceiro membro, mas não obtive sucesso na simplificação da equação:
\left( sen^2x \right)^5 = sen^{10}x = \left( 1 - cos^2x \right)^5
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 13:05

Ananda, uma outra forma que pensei para lidar com este expoente 10, é utilizar esta redução de potência, seguida pela expansão binomial:

sen^{10}x = \left( sen^2x \right)^5 = \left( \frac{1-cos2x}{2} \right)^5

E quando as potências em cosseno aparecerem, utilizar esta outra redução:

cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta}{2}

Pois
cos^5\theta = \left( cos^2\theta \right)^2 \cdot cos\theta

Mas este processo é desanimador, ainda prefiro tentar buscar um caminho melhor.
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:39

Partindo do que tinhas colocado anteriormente:
5\frac{cos^2x}{sen^2x}=\left(1-cos^2x \right)^5

E que:

sen^2x=1-cos^2x

Está certo considerar:

5cos^2x=\left(1-cos^2x \right)^6

Certo?
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:42

Se bem que na prova real não daria certo...
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:43

Opa, dá sim!
Cos tem que ser zero, certo?
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 13:45

Ananda, como
sen^{10}x = \left(1-cos^2x \right)^5

Acho que você quis partir daqui:
5\frac{cos^2x}{sen^2x}=1 - \left(1-cos^2x \right)^5
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:46

Exatamente!
E eu me enrolei com a prova real e por fim, vi que estava dando:
0 = 1
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 13:51

OK, mas a simplificação não está evidente, mesmo partindo daqui:
5\frac{cos^2x}{sen^2x}=1 - \left(1-cos^2x \right)^5
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:55

Partindo daí, só cheguei a:

6cos^2x-1 = - \left(1-cos^2x \right)^6
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 14:09

O que dá uma equação de grau 6 em cos^2x.

Mas, partindo de outro desenvolvimento, eu já tinha obtido outra equação de grau 6 em sen^2x:
sen^{12}x - 6sen^2x + 5 = 0

Fazendo uma substituição: t = sen^2x

t^6 - 6t + 5 = 0
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 14:29

E como se resolveria isso?
Em programa de função, acho a resposta, mas como se faz no lápis?
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 15:31

Não há uma forma genérica para resolução de equações de grau 6.

Estou utilizando a inequação:
-1 \leq senx \leq 1

E que:
0 \leq sen^2x \leq 1

Logo, sendo:
f(t) = t^6 -6t + 5

0 \leq dom f \leq 1

f(0) = 5

f(1) = 0 (raiz no domínio)

E utilizando argumentos do cálculo, estudando a primeira e segunda derivadas de f no domínio, garantimos que f é côncava para cima e decrescente no intervalo [0, 1], portanto, t=1 é a única raiz.

Então,

t = sen^2x = 1

\sqrt{sen^2x} = \sqrt{1}

\left| senx \right| = 1

senx = \pm 1

\Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \math{Z}

Mas ainda vale tentar outra solução sem recorrer ao cálculo para justificar.
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 15:38

Hmmm, grata...
De qualquer modo, a resolução desse exercício foi mais uma "curiosidade", já que não pretendo prestar ITA.
Mas conseguindo fazer todos ou quase todos os exercícios de cada capítulo, acredito que estarei mais apta a fazer as provas das faculdades que prestarei.
Mais uma vez, grata!
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Qua Mar 12, 2008 16:46

Olá Ananda, boa tarde!

Hoje pensei em um modo mais simples de fazer, sem argumentos do cálculo, utilizando o fato de o conjunto imagem da função seno ser limitado entre -1 e 1 e as definições da progressão geométrica, veja:

Nossa PG: (sen^2x, sen^4x, sen^6x, sen^8x, sen^{10}x)
Com primeiro termo: sen^2x
E razão: sen^2x

Tal que S_5 = 5 (soma dos 5 primeiros termos)



A conjunto imagem da função seno é limitado:
-1 \leq senx \leq 1

Como o quadrado de um número real nunca é negativo, segue que:
0 \leq sen^2x \leq 1


Considerando a razão que é sen^2x, vamos listar todas as possibilidades de classificação desta PG:

Caso I) Se sen^2x = 0
Implicaria uma PG constante com termos nulos.

Caso II) Se 0 < sen^2x < 1
Implicaria uma PG decrescente com cada termo menor que o anterior.

Caso III) Se sen^2x = 1
Implicaria uma PG constante com termos iguais e não nulos.


Agora, analisemos cada caso:

Caso I) Não convém, pois teríamos:
PG = (0, 0, 0, 0, 0)
Com S_5 = 0.

Caso II) Como 0 < sen^2x < 1
Segue que:
0 < sen^4x < 1
0 < sen^6x < 1
0 < sen^8x < 1
0 < sen^{10}x < 1

E então:

0 + 0 + 0 + 0 + 0 < sen^2x + sen^4x + sen^6x + sen^8x + sen^{10}x < 1 + 1 + 1 + 1 + 1

0 < sen^2x + sen^4x + sen^6x + sen^8x + sen^{10}x < 5

Que também não convém, pois teríamos: 0 < S_5 < 5


Caso III) É o caso restante.
Tanto que para sen^2x = 1, vale a equação trigonométrica da soma de termos da PG:

sen^2x + sen^2x \cdot sen^2x + sen^2x \cdot (sen^2x)^2 + sen^2x \cdot (sen^2x)^3  + sen^2x \cdot (sen^2x)^4 = 5

Logo, de fato, sen^2x = 1.

E segue que:
\sqrt{sen^2x} = \sqrt{1}

|senx| = 1

senx = 1 ou senx = -1

Portanto, o conjunto-solução é:

S = \left\{ x \in \Re | x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n\in\math{Z} \right\}
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 13, 2008 11:10

Bom dia, Fábio!
Grata pela resolução mais prática!
Fico alegre de por enquanto estar sem novas dúvidas!
Grata mais uma vez!
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.