P.A Das Abelhas

por **Guedes** » Qua Out 13, 2010 13:16

uma colmeia nova tem 8000 abelhas.destas a cada dia que passa morrem 200 do dia 21° em diante nascem diariamente 2000 abelhas que vivem em media 40 dias apos certo tempo o numero dessa colmeia se estabilizara em quantoas abelhas?

sei que a resposta e 80000 por favor me ajudem nao consigo

por **Augusto Evaristo** » Sex Out 15, 2010 23:39

Olá, caro Guedes e amigos da matemática,

Para podermos responder a sua questão, temos que entender a pergunta: "... o número dessa colmeia se estabilizará em quantas abelhas?". O que se entende: em quanto a população de abelhas não variará? Isso quer dizer, a quantidade em que não haverá aumento ou diminuição no número total de abelhas, o que não quer dizer que não morram ou não nasçam abelhas, mas que a quantidade de nascimentos seja igual a quantidade mortes. Entendido isso, continuemos.

A sua questão, na verdade, envolve duas Progressõess Aritiméticas, e há de se considerar apenas uma no final. Vejamos.

1ª P.A.
A colmeia tem 8000 abelhas, logo ${a}_{1}=8000$ , destas a cada dia que passa morrem 200, logo r = -200.
Montando a equação do termo geral da P.A., temos:

${a}_{n}={a}_{1}+(n-1).r$ , ${a}_{n}=8000+(n-1).(-200), {a}_{n}=8200-200n$

Para sabermos o número de dias necessários para a extinção total, ou seja, ${a}_{n}=0$ , dessa população de 8000 abelhas, isolamos o "n" da seguinte forma:

$n=\frac{8200-{a}_{n}}{200}$ , logo, $n=\frac{8200-0}{200}$ , n=41

. Isso quer dizer que no 41° dia, essa população chegará a zero.

2ª P.A.
À partir do 21° dia, nascem duas mil abelhas diariamente. Logo ${a}_{21}=2000$ (utilizamos 21 para facilitar os cálculos e a compreensão, mas não quer dizer que haja os termos de ${a}_{1}$ ao ${a}_{20}$ ), e r=2000

.

Montando a equação do termo geral da P.A., temos:

${a}_{n}={a}_{k}+(n-k).r$ , ${a}_{n}=2000+(n-21).(2000), {a}_{n}=2000n-40000$ , $para\:n\geq21$ .

Ora, se quarenta dias depois passam a morrer 2000 abelhas cada dia, do total de abelhas teremos que subtrair 2000 diáriamente. Considerando que isso irá ocorrer a partir do 60° dia (iniciando a contagem com o 21° dia, quarenta dias de vida se concluirá no 60° dia), obteremos uma população constante de abelhas, conforme compreensão apresentada no início, teremos então o seguinte cálculo:

${a}_{60}=2000.(60)-40000$ , logo:

${a}_{60}=80000$

Obs.: Verifique que a establização da população ocorre no 60° dia, ou seja, 19 dias após a extinção das 8000 abelhas iniciais, o que significa que elas não interferem na solução da questão, mas foi desenvolvida a sua P.A. a fim de sabermos o dia certo de sua extinção.

Caso ainda haja alguma dúvida, pode perguntar.

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