Progressão Aritmética

por **lara_nsantos** » Qua Dez 04, 2013 22:08

Dois amigos X e Y treinam para uma competição, numa mesma pista de corridas e partem
de um mesmo ponto, mas, quando X começa a correr, Y já percorreu 121 metros.
Sabe-se que Y corre a uma velocidade constante, percorrendo 2,5 metros a cada segundo.
Para alcançá–lo rapidamente, X usa a estratégia de percorrer 2 metros no 1º segundo; 2,1 metros no 2°segundo; 2,2 metros no 3°segundo, e assim, sucessivamente,
aumentando 0,1 metro a cada segundo.
Dessa forma, o tempo de corrida necessário para X alcançar Y é de
01) 45 segundos.
02) 55 segundos.
03) 01 minuto e 05 segundos.
04) 01 minuto e 15 segundos.
05) 01 minuto e 25 segundos.

por **Russman** » Qui Dez 05, 2013 00:58

Amigos X e Y? Hahah. Achei engraçado. Enfim...

Vamos usar a variável

como o instante de tempo em que,convenientemente, o amigo X se encontra na posição x(t)

e o amigo Y na posição y(t)

.

lara_nsantos escreveu:Sabe-se que Y corre a uma velocidade constante, percorrendo 2,5 metros a cada segundo.

Sem dificuldades podemos escrever y(t) = y(t=0) + 2,5t

onde

é a posição do amigo Y no intante que começamos a contar o tempo( t=0

).

lara_nsantos escreveu:Para alcançá–lo rapidamente, X usa a estratégia de percorrer 2 metros no 1º segundo; 2,1 metros no 2°segundo; 2,2 metros no 3°segundo, e assim, sucessivamente, aumentando 0,1 metro a cada segundo.

É fácil, novamente, perceber que este movimento é o uniformemente acelerado. Também, pelo título deste tópico, podemos tomar os deslocamentos $\Delta x(t) = x(t) - x(t-1)$ como uma progressão aritmética de razão 0,1

com a qual, para calcular o deslocamento total x(t) - x(0)

do amigo X, devemos somar

todos os deslocamentos sucessivos. Faz sentido, não?
Pois bem, sabendo que se trata de uma P.A., os deslocamentos $\Delta x(t)$ devem obedecer a seguinte expressão:

$\Delta x(t) = \Delta x(1) + 0,1.(t-1)$

( A famosa a_n = a_1 + (n-1)r

, ok?)

Agora, a soma destes deslocamentos nos dará a posição x(t)

do amigo X no instante

. Lembrando que $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ então para o nosso problema escrevemos

$x(t) - x(0) = \frac{t(\Delta x(1) + \Delta x(t))}{2} = \frac{t(\Delta x(1) + \Delta x(1) + 0,1.(t-1))}{2} =$
$= t \Delta x(1) + \frac{0,1t^2}{2}-\frac{0,1t}{2} = t\left ( \Delta x(1) - \frac{0,1}{2} \right ) + \frac{0,1t^2}{2}$

e esta é a ( se você lembrar das aulas da Física) equação do movimento uniformemente acelerado. Para nos convencermos de qe a expressão deve estar certa note que o amigo X, segundo nossa expressão, parte de x(0)=0

(façamos assim para simplificar as contas) com velocidade inicial diferente de zero. Isto, é, ele estará correndo, como se esperava! Ainda, para t=1

temos

como desejado.

lara_nsantos escreveu:de um mesmo ponto, mas, quando X começa a correr, Y já percorreu 121 metros.

Isto nos diz que devemos tomar y(t=0) = 121

, pois tomamos x(t=0) = 0

.

Assim, temos as duas equações de movimento e para calcular qual o tempo de encontro basta calcular para qual valor de

que

. Faz sentido, não? Se vão se encontrar devem , necessariamente, ocupar a mesma posição!

Resolvendo:

$t\left ( \Delta x(1) - \frac{0,1}{2} \right ) + \frac{0,1t^2}{2} = y(t=0) + 2,5t$
1,95t + 0,05t^2 = 121 + 2,5t

Esta equação de 2° grau tem soluções reais distintas. Isso significa que o ponto de encontro existe e não é único: existem dois instantes que ocorre o encontro dos amigos. As soluções são t=-44