Calculos envolvendo triângulo retângulo e retângulo

por **andersontricordiano** » Seg Abr 18, 2011 02:29

Seja ABC o triângulo retângulo da figura . Por M e N , pontos médios de AB e AC , respectivamente construímos o retângulo AMPN. Unindo M e N, construímos o triângulo retângulo AMN; por por R e S , pontos médios de AM e AN, respectivamente, construímos o retângulo ARTS e assim indefinidamente. Determine a diferença entre a soma das áreas de todos os triângulos assim construídos e a soma das áreas de todos os retângulos assim construídos .

: triangulo e retangulo.gif (6.71 KiB) Exibido 4031 vezes

DETALHE A RESPOSTA É : 16

Agradeço quem resolver esse calculo!

por **MarceloFantini** » Seg Abr 18, 2011 04:19

A área do primeiro triângulo formado desta maneira é 24. Do segundo, 6. Do terceiro, 1.5. Com um pouco de álgebra: $A_1 = \frac{ab}{2}$ é a primeira área; $A_2 = \frac{a'b'}{2} = \frac{\frac{a}{2} \frac{b}{2}}{2} = \frac{ab}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{A_1}{4}$ . Nota-se que a soma das áreas dos triângulos forma uma progressão geométrica de termo inicial

e razão $\frac{1}{4}$ . Analogamente para os retângulos, apenas o termo inicial é 12. Logo:

$D = \frac{24}{1 - \frac{1}{4}} - \frac{12}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{24}{\frac{3}{4}} - \frac{12}{\frac{3}{4}} = 32 - 16 = 16$