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Derivar expressão trigonometrica

Derivar expressão trigonometrica

Mensagempor joaofonseca » Qua Nov 30, 2011 22:29

Dada a seguinte expressão:

\frac{1}{x^2}\cdot sin^2(\frac{x}{2})

Encontre a formula da derivada.

Eu fiz assim:

\left (\frac{1}{x^2} \right )' \cdot sin^2 \left (\frac{x}{2} \right)+\frac{1}{x^2}\cdot \left (sin^2 \left (\frac{x}{2}\right)\right)'

\frac{-2x}{x^4} \cdot sin^2 \left (\frac{x}{2} \right)+\frac{1}{x^2}\cdot \left [2 \cdot sin \left (\frac{x}{2}\right) \cdot \left(sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)' \right]

\frac{-2x}{x^4} \cdot sin^2 \left (\frac{x}{2} \right)+\frac{1}{x^2}\cdot \left [2 \cdot sin \left (\frac{x}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(\frac{x}{2}\right)' \right]

\frac{-2x}{x^4} \cdot sin^2 \left (\frac{x}{2} \right)+\frac{1}{x^2}\cdot \left [2 \cdot sin \left (\frac{x}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \frac{2}{4} \right]

Será que está bem?Alguém pode conferir?
Isto de calcular a derivada complica-se quando é preciso misturar a regra do quociente, do produto e da cadeia.
joaofonseca
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Re: Derivar expressão trigonometrica

Mensagempor MarceloFantini » Qui Dez 01, 2011 01:45

Está certo, mas simplifique \frac{-2x}{x^4} para \frac{-2}{x^3}, não era necessário colocar \frac{2}{4}, embora não está errado a derivada de \frac{x}{2} é \frac{1}{2}, não havia necessidade de multiplicar numerador e denominador por 2.

Poderia ter notado que \frac{1}{x^2} = x^{-2} e então (x^{-2})' = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^{3}}. Uma forma interessante seria notar que \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1 - \cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right)}{2}, daí \left( \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) \right)' = \left( \frac{1 - \cos x}{2} \right)' = \frac{ \sin x}{2}.

Note que é consistente, uma vez que 2 \cdot \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = \sin x.
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.