Derivar expressão trigonometrica

por **joaofonseca** » Qua Nov 30, 2011 22:29

Dada a seguinte expressão:

$\frac{1}{x^2}\cdot sin^2(\frac{x}{2})$

Encontre a formula da derivada.

Eu fiz assim:

$\left (\frac{1}{x^2} \right )' \cdot sin^2 \left (\frac{x}{2} \right)+\frac{1}{x^2}\cdot \left (sin^2 \left (\frac{x}{2}\right)\right)'$

$\frac{-2x}{x^4} \cdot sin^2 \left (\frac{x}{2} \right)+\frac{1}{x^2}\cdot \left [2 \cdot sin \left (\frac{x}{2}\right) \cdot \left(sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)' \right]$

$\frac{-2x}{x^4} \cdot sin^2 \left (\frac{x}{2} \right)+\frac{1}{x^2}\cdot \left [2 \cdot sin \left (\frac{x}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(\frac{x}{2}\right)' \right]$

$\frac{-2x}{x^4} \cdot sin^2 \left (\frac{x}{2} \right)+\frac{1}{x^2}\cdot \left [2 \cdot sin \left (\frac{x}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \frac{2}{4} \right]$

Será que está bem?Alguém pode conferir?
Isto de calcular a derivada complica-se quando é preciso misturar a regra do quociente, do produto e da cadeia.

por **MarceloFantini** » Qui Dez 01, 2011 01:45

Está certo, mas simplifique $\frac{-2x}{x^4}$ para $\frac{-2}{x^3}$ , não era necessário colocar $\frac{2}{4}$ , embora não está errado a derivada de $\frac{x}{2}$ é $\frac{1}{2}$ , não havia necessidade de multiplicar numerador e denominador por 2.

Poderia ter notado que $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ e então $(x^{-2})' = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^{3}}$ . Uma forma interessante seria notar que $\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1 - \cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right)}{2}$ , daí $\left( \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) \right)' = \left( \frac{1 - \cos x}{2} \right)' = \frac{ \sin x}{2}$ .

Note que é consistente, uma vez que $2 \cdot \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = \sin x$ .

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