Funções Tirgonométricas Inversas

por **geriane** » Seg Jul 05, 2010 12:06

Não estou conseguindo resolver esta situação:
Calcular $y = tg (2 arc sen \frac{\sqrt[2]{3}}{2})$
Desde já mto obrigada!

por **Tom** » Seg Jul 05, 2010 13:07

Seja $\theta=arcsen(\frac{\sqrt{3}}{2})$ , desejamos obter $y=tg(2\theta)$

Usando a relação de tangente para a duplicação de arco, temos: $tg(2\theta)=\dfrac{2tg\theta}{1-tg^2\theta}$

Usando a identidade trigonométrica: $cossec^2\theta=1+cotg^2\theta$ , obtemos: $cotg^2\theta=\frac{1}{3}$ e, portanto, $tg^2\theta=3$

Assim, $y=tg(2\theta)$ pode assumir dois valores, a saber:

$y_1=\dfrac{2.\sqrt{3}}{1-3}=-\sqrt{3}$ , nesse caso $\theta=\frac{\pi}{3}$

$y_2=\dfrac{-2\sqrt{3}}{1-3}=\sqrt{3}$ , nesse caso $\theta=\frac{2\pi}{3}$

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