Relação entre ângulo e área

por **Cleyson007** » Qua Abr 21, 2010 16:24

Boa tarde!

Sendo um triângulo com dois de seus lados medindo 2m e 5m e área igual a 3m². Imagine que o ângulo entre esses dois lados seja triplicado, então a área dessa figura será aumentada em quantos metros quadrados?

a) 42/25

b) 36/25

c) 12/5

d) 14/5

Agradeço a ajuda! Estou sem idéia por onde começar *-)

Até mais.

por **MarceloFantini** » Qua Abr 21, 2010 18:31

$A_{\DeltaABC} = \frac {ab sen \theta}{2} = \frac {2 \cdot 5 \cdot sen \theta}{2} = 3 \Rightarrow sen \theta = \frac {3}{5}$

Logo, temos que $cos \theta = \frac {4}{5}$ . Vamos calcular $sen (3\theta)$ :

$sen (3\theta) = sen (2\theta + \theta) = sen(2\theta)cos(\theta) + sen(\theta)cos(2\theta) = 2sen(\theta)cos(\theta)cos(\theta) + sen(\theta)(cos^2 (\theta) - sen^2(\theta)) = 2sen(\theta)cos^2(\theta) + sen(\theta)cos^2(\theta) - sen^3(\theta)$ .

Basta calcular o $sen(3\theta)$ e colocar aqui: $A'_{\DeltaABC} = \frac {2 \cdot 5 \cdot sen(3\theta)} {2} = 5 \cdot sen (3\theta)$

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