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[Integral Por Substituição]

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Mensagempor Douglas13 » Qua Nov 25, 2015 10:49

Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar a resolver essa integral

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De preferência passo a passo para que possa compreender.
Douglas13
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Re: [Integral Por Substituição]

Mensagempor nakagumahissao » Qua Nov 25, 2015 13:45

\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx

Primeiramente vamos desmembrar a fração da seguinte maneira:

\frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}

Pelas propriedades das Integrais podemos integrar cada uma das funções separadamente, sempre considerando x diferente de zero.

\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx - \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx \;\;\;\;[1]

Vamos resolver a primeira integral em [1] substituindo-se:

u = x^3 + 1 \Rightarrow du = 3x^{2} dx  \Rightarrow dx = \frac{dy}{3x^{2}}

\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx = \int 2x^{2} e^{x^3 + 1} dx = \int \frac{2x^{2} e^{u}}{3x^{2}} du =

\int \frac{2}{3} e^{u} du = \frac{2}{3} \int e^{u} du = \frac{2}{3} e^{u} =

= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} \;\;\;\;\;[2]

Para a segunda integral em [1] acima, tomemos:

u = \frac{1}{x} \;\;\;\; [3]

u = x^{-1} \Rightarrow du = - x^{-2} dx \Rightarrow du = - \frac{1}{x^{2}} dx \Rightarrow

\Rightarrow dx = - x^{2} du \;\;\;[4]

Usando [3] e [4] na segunda integral de [1], teremos:

\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx =  \int \frac{e^{u}}{x^{2}} (-x^{2}) du = \int - e^{u} du = -\int e^{u} du =

= -e^{u} + c_{2} = -e^{1/x} + c_{2} \;\;\;\;\;[5]

Finalmente, juntando-se [2] e [5] obtidos acima em [1] e tomando-se cuidado com os sinais e combinando-se as constantes, tem-se:

\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx = \int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx - \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx =

= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} - \left( -e^{1/x} + c_{2} \right) =

= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} + e^{1/x} - c_{2} = \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + e^{1/x} + C

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Re: [Integral Por Substituição]

Mensagempor nakagumahissao » Qua Nov 25, 2015 13:48

\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx

Primeiramente vamos desmembrar a fração da seguinte maneira:

\frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}

Pelas propriedades das Integrais podemos integrar cada uma das funções separadamente, sempre considerando x diferente de zero.

\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx - \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx \;\;\;\;[1]

Vamos resolver a primeira integral em [1] substituindo-se:

u = x^3 + 1 \Rightarrow du = 3x^{2} dx  \Rightarrow dx = \frac{dy}{3x^{2}}

\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx = \int 2x^{2} e^{x^3 + 1} dx = \int \frac{2x^{2} e^{u}}{3x^{2}} du =

\int \frac{2}{3} e^{u} du = \frac{2}{3} \int e^{u} du = \frac{2}{3} e^{u} =

= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} \;\;\;\;\;[2]

Para a segunda integral em [1] acima, tomemos:

u = \frac{1}{x} \;\;\;\; [3]

u = x^{-1} \Rightarrow du = - x^{-2} dx \Rightarrow du = - \frac{1}{x^{2}} dx \Rightarrow

\Rightarrow dx = - x^{2} du \;\;\;[4]

Usando [3] e [4] na segunda integral de [1], teremos:

\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx =  \int \frac{e^{u}}{x^{2}} (-x^{2}) du = \int - e^{u} du = -\int e^{u} du =

= -e^{u} + c_{2} = -e^{1/x} + c_{2} \;\;\;\;\;[5]

Finalmente, juntando-se [2] e [5] obtidos acima em [1] e tomando-se cuidado com os sinais e combinando-se as constantes, tem-se:

\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx = \int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx - \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx =

= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} - \left( -e^{1/x} + c_{2} \right) =

= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} + e^{1/x} - c_{2} = \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + e^{1/x} + C

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Re: [Integral Por Substituição]

Mensagempor Douglas13 » Qua Nov 25, 2015 21:13

Nakagumahissao Muito obrigado pela ajuda, não consegui resolver essa integral
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59