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Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 06, 2008 11:51

Bom dia!

A área da região do primeiro quadrante delimitada pelas retas que são soluções da equação cos(x+y)=0, com 0\leq x+y \leq2\pi, é igual a:

Resposta: \pi^2 unidades de área

Eu cheguei a:
cos x . cos y - sen x . sen y = 0
cos x . cos y = sen x . sen y
tg y . tg x = 1

Daí fui analisando as possibilidades e obtive como possíveis:

45^0+45^0;
120^0+150^0;
30^0+60^0;
135^0+135^0;
210^0+60^0;
225^0+45^0;
240^0+30^0

Daí tracei as retas no círculo trigonométrico (só tracei as que cortam o primeiro quadrante), mas nas minhas tentativas de calcular a área não cheguei nenhuma vez a \pi^2, porque parti de que a área da circunferência é \piR^2.
Como prossigo se é que está certo?

Grata desde já!
Anexos
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.JPG
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor admin » Qui Mar 06, 2008 13:12

Olá Ananda, boa tarde!

A região que está em destaque na sua figura, não é a que o enunciado pede a área.

Eu sei que vendo esta equação cos(x+y)=0 logo pensamos em desenvolver a soma de arcos.

Mas, você pensou na solução geral?
Lembra do conjunto-solução de uma equação trigonométrica que comentei na dúvida anterior?

Tente este caminho!
Encontre o conjunto-solução.
Você terá um k inteiro.

Em seguida, veja que o enunciado especifica um intervalo.
Encontre os valores de k que atendem à condição.

Somente então, você poderá extrair duas retas.
Trace as duas retas no plano cartesiano.

A área pedida está entre elas, no primeiro quadrante, e realmente é \pi^2.

Vamos conversando...
Até mais!
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 06, 2008 14:00

Olá!
Fica assim?

cos (x+y)=0
cos = 0 --> \frac{\pi}{2}

S = \{x+y \in \Re | x+y = \frac{\pi}{2}+K.\pi\} \left(K \in\\Z \right)

No intervalo pedido, K pode ser 0 ou 1.
Então:
x+y=90^0
x+y=270^0


Agora para fazer as retas no plano cartesiano tenho que usar os valores dos ângulos como x e y?

Ananda
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor admin » Qui Mar 06, 2008 14:17

Ananda, antes, só um comentário.
Eu entendi o que você quis dizer aqui, mas não se deve escrever desta forma:
cos = 0 --> \frac{\pi}{2}


A idéia fica expressa assim:
Para \alpha \in \Re, 0 \leq \alpha \leq \pi, cos\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

Igualmente:
Para \alpha real, \alpha \in [0, \pi], cos\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}



Voltando, o conjunto-solução é este mesmo, está certo!
E k=0 ou k=1, ótimo!

Você precisa sim utilizar os ângulos, mas em radianos, não em graus.

E depois, por favor, comente como você traça retas no plano cartesiano.
Parece ingênuo, mas é importante. Farei novos comentários a partir de sua resposta.

O exercício está quase acabando. Uma vez que você visualizar as retas, será fácil o cálculo da área pedida.
Até mais.
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 06, 2008 15:19

Ai! Agora que eu entendi hahahaha
Por isso que eu tentava colocar o desenho dentro do primeiro quadrante do círculo trigonométrico e não dava certo! hahahaha
No plano cartesiano fica assim:

Área total: Triângulo maior
base = \frac{3\pi}{2}-0

altura = \frac{3\pi}{2}-0


Área total: \frac{9\pi}{8}

Área do triângulo menor:
base = \frac{\pi}{2}-0

altura = \frac{\pi}{2}-0


Área: \frac{\pi^2}{8}

Área delimitada = Área total - Área do triângulo menor
Área delimitada = \frac{9\pi^2}{8}-\frac{\pi^2}{8}


Área delimitada = \pi^2

Certo?

Sobre como eu traço as retas, bom se eu entendi direito a pergunta, com régua e usando escala.
Grata pela atenção e ajuda!
Ananda
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor admin » Qui Mar 06, 2008 16:58

Olá!

Certo!

Parece que sua dúvida inicial teve relação com o primeiro quadrante.
Apenas para registrar, sendo x, y \in \Re, o primeiro quadrante é a intersecção das regiões representadas por estas inequações:

\left\{
\begin{matrix}
x \geq 0  \\ 
y \geq 0 
\end{matrix}
\right.

Veja na figura, incluindo o círculo trigonométrico:
primeiro_quadrante.jpg
primeiro_quadrante.jpg (25.97 KiB) Exibido 9642 vezes


E a região do enunciado realmente não cabe dentro do círculo que possui área \pi.


Sobre os gráficos, seria melhor eu ter perguntado, não como você desenha, mas como você pensa.
No caso de retas, há várias formas, mas acredito que se você fizer uso do que eu tentarei explicar, conseguirá esboçar muitos gráficos mentalmente, apenas olhando para suas equações.

Escrevi um tópico só para o assunto: Pensando e esboçando gráficos
http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=72&t=150


Bons estudos!
Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 06, 2008 17:48

Oi!
É o método da "tabelinha" mesmo...
Mas tenho uma noção de como será a representação (reta decrescente, crescente; parábola) por causa dos gráficos de Física...
Grata!
Ananda
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.