Por que eu não posso cortar? Equações

por **Fontelles** » Ter Dez 22, 2009 20:20

Senhores, estava resolvendo uma questão de trigonometria e me deparei com essa situação.
E podia cortar uns membros da equação, mas faltavam soluções na resposta.
Citarei o exemplo com o intervalo [o, 2pi]
(1-tgx)(1+sen2x)=1+tgx
[(cosx-senx)/cosx](1+sen2x)]=(senx+cosx)/cosx
Corta o cosx.
(cosx-senx)(1+sen2x)=(senx+cosx)
(1+sen2x)²=(senx+cosx)²/(cosx-senx)²
1+2.sen2x+sen²2x=(1+sen2x)/(1-sen2x)
(1-sen2x)(1+2.sen2x+sen²2x)=(1+sen2x)
1+2sen2x+sen²2x-sen2x-2.sen²2x-sen³2x=1+sen2x
sen2x=t
-t²-t³=0
t²+t³=0
t²(1+t)=0
t=0 ou t=-1
sen2x=0 <=> sen2x=sen0 => 2x=2kpi <=> x=kpi ou 2x=pi+2kpi <=> x=pi/2 + kpi
sen2x=-1 <=> sen2x=sen3pi/2 => 2x=3pi/2+2kpi <=> x=3pi/4+kpi ou x=-pi/4+kpi
Para k=0 => x=0, ou x=pi/2, ou x=3pi/4,
Para k=1 => x=pi, ou x=3pi/2, ou x=7pi/4
S={0, pi/2, 3pi/4, pi, 3pi/2, 7pi/4}, que por sinal está errado.
Resolvendo a mesma questão
(1-tgx)(1+sen2x)=(1+tgx)
1+sen2x=(senx+cosx)/(cosx-senx)
(senx+cosx)²=(senx+cosx)/(cosx-senx)
(senx+cosx)(cosx-senx)=1
Daí a resposta continua errada.
O gabarito é S={3pi/4, 7pi/4, 0, pi, 2pi}

por **Elcioschin** » Qua Dez 23, 2009 08:54

Você NÃO pode cortar, exatamente por isto: cortando você elimina algumas soluções:
Veja um exemplo na sua própria solução (errada):
.............
t² + t³ = 0
t³ = -t² ----> Dividinto (Cortando) t²:
t = -1
...............
Viu como você eliminou soluções?

Veja agora a solução correta:

(1 - tgx)*(1 + sen2x) = 1 + tgx ---> Desenvolvendo o 1º membro:
1 + sen2x - tgx - tgx*sen2x = 1 + tgx
sen2x - tgxsen2x = 2*tgx
2*senx*cosx - (senx/cosx)*2*senx*cosx = 2*tgx
senx*cosx - sen²x = senx/cosx
senx*cos²x - sen²x*cosx = senx
- sen²x*cosx = senx*(1 - cos²x)
- sen²x*cosx = senx*sen²x
- sen²x*cosx = sen³x
sen³x + sen²x*cosx = 0
sen²x*(senx + cosx) = 0

Soluções:

1) sen²x =0 ----> senx = 0 -----> x = 0, pi, 2*pi

2) senx + cosx = 0 ----> senx = -cosx -----> x = 3pi/4 (2º quadrante) e x = 7*pi/4 (4º quadrante)