[Trigonometria] soma de cossenos

por **blaze** » Ter Jun 03, 2014 15:43

Olá.
Estava a estudar equações trigonométricas quando me lembrei de uma questão. Resolver equações do tipo $\cos \alpha=1$ é fácil, mas quando há mais do que um cosseno, por exemplo,

$\cos (\frac{\alpha}{2}) +2\cos (\frac{\pi-\alpha}{2})=1$
o problema fica mais difícil. Andei à procura pela net mas não encontro nada que me explique esta última equação; alguém me pode ajudar/ensinar?

por **DanielFerreira** » Ter Jun 03, 2014 20:46

Blaze, a princípio, acho que podes aplicar $\cos (a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b$ .

por **blaze** » Ter Jun 03, 2014 20:52

Isso iria dar-me uma outra igualdade mais complicada de resolver: $1-\cos \frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}$

por **DanielFerreira** » Ter Jun 03, 2014 20:56

$\\ \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \cos \left ( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha }{2} \right ) = 1 \\\\\\ \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \left ( \cos \frac{\pi }{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\pi }{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \right ) = 1 \\\\\\ \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \left ( 0 \cdot \cos \frac{\alpha}{2} + 1 \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \right ) = 1 \\\\\\ \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \sin \left (\frac{\alpha}{2} \right ) = 1$

Sabemos que $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + \sin^2 \left (\frac{\alpha}{2} \right ) = 1$

Resolva o sistema,

$\begin{cases} \cos \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + 2 \cdot \sin \left (\frac{\alpha}{2} \right ) = 1 \\\\ \cos^2 \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) + \sin^2 \left (\frac{\alpha}{2} \right ) = 1\end{cases}$

Espero ter ajudado!