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Lei dos cossenos

Lei dos cossenos

Mensagempor kandara » Qua Abr 30, 2014 17:35

Olá, eu aprendi ontem como calcular os lados de triângulos com a Lei dos Cossenos e confesso que não está tão difícil, mas em um dos problemas, uma dúvida me surgiu quanto ao resultado, vejam:

Ex 1. Dados os seguintes elementos de um triângulo ABC: Â = 30º, AB = 8 m, CB = 5 m. Calcule AC.
Certo, eu então desenhei um triângulo qualquer com este ângulo agudo de 30 graus para visualizar melhor o problema, eis o triângulo mal feito:
Imagem

Certo, então o lado b que quero achar, até aí tudo bem, eu fiz o cálculo utilizando a lei dos cossenos:

b² = a² + c² - 2.b.c.cos30°
b² = 8² + 5² - 2.8.5.cos30°
b² = 64 + 25 - 80.cos30°
b² = 89 - 80 cos30
b² = 89 - 40?3
b² = 49?3
b² = 84,87
b = ?84,47
b= 9,19 cm aprox.

Massss... Fui conferir o gabarito desse exercício o o resultado deu: x= 4?3 + 3
Daí eu fiz 4 vezes raiz de 3 mais 3 e deu aproximadamente 9,92. Um resultado maior que o meu, a conta no gabarito está assim:
Imagem

E eu confesso que não entendi bem como chegaram nesse resultado, podem me explicar?
Obrigada.
kandara
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Re: Lei dos cossenos

Mensagempor Russman » Qua Abr 30, 2014 18:54

Pra um triângulo de vértices A, B e C, lados , respectivamente opostos aos pontos, a,b e c a Lei dos Cossenos pode ser escrita de 3 formas:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\widehat{B})
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})

O ângulo que alimenta o cossenos nas formas é o ângulo do vértice oposto ao lado que aparece destacado no lado esquerdo.

Veja que você aplicou a fórmula "para b" atribuindo o ângulo de 30° ao vértice B, que está errado. O ângulo de 30° refere-se ao vértice A.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}