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Equação Trigonométrica

Equação Trigonométrica

Mensagempor Lana Brasil » Qui Abr 17, 2014 21:44

Boa Noite.
Sabendo que 2 sen x + 5 cos x = 0 e que pi/2<x<pi, obtenha o valor de sen x e cos x.

Estou com dúvidas na resolução da equação acima. Resolvi cheguei a um número muito estranho para cosx e sen x mas no enunciado o intervalo corresponde a cosx negativo e senx positivo. Encontrei exatamente o contrário. Podem me ajudar, por favor?
Obrigada.
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagempor e8group » Qui Abr 17, 2014 23:32

A ideia é estabelecer uma conexão entre seno e cosseno . Sabemos que isto é possível , uma das relações que nos permite escreve seno em função de cosseno e vice-versa é relação trigonométrica fundamental : sin^2 x + cos^2x = 1 .

Pois bem , vou sugerir uma álgebra que nos leva a resposta

Ps.: O intervalo é (\pi/2,\pi) = I . A função cosseno é sempre negativa neste intervalo ,logo - cos(x) > 0 , \forall x \in I .

Segue ,

2 sin x + 5cos x = 0  \iff  2 sin x =  - 5 cosx  \iff   sinx = -\frac{5}{2} cos(x) . Podemos dividir ambos membros - cos(x) \neq 0 ,

- tan(x) = \frac{5}{2} . Como ambos membros é positivo , elevando ao quadrado

tan^2 x = 25/4 . Porém sabemos q 1 + tan^2 x = sec^2 x = 1/cos^2 x .

Então , sec^2 x = 1/cos^2 x =   tan^2 x  +1 =  25/4 + 1 = 29/4 . Logo cos^2(x) = 4/29 ou seja

|cos(x)| = 2/\sqrt{29} . Como cos(x) < 0 , obtemos cos(x) =- 2/\sqrt{29} .

Agora tente terminar . Importante é compreender a ideia geral ...
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagempor Lana Brasil » Sex Abr 18, 2014 14:02

santhiago escreveu:A ideia é estabelecer uma conexão entre seno e cosseno . Sabemos que isto é possível , uma das relações que nos permite escreve seno em função de cosseno e vice-versa é relação trigonométrica fundamental : sin^2 x + cos^2x = 1 .

Pois bem , vou sugerir uma álgebra que nos leva a resposta

Ps.: O intervalo é (\pi/2,\pi) = I . A função cosseno é sempre negativa neste intervalo ,logo - cos(x) > 0 , \forall x \in I .

Segue ,

2 sin x + 5cos x = 0  \iff  2 sin x =  - 5 cosx  \iff   sinx = -\frac{5}{2} cos(x) . Podemos dividir ambos membros - cos(x) \neq 0 ,

- tan(x) = \frac{5}{2} . Como ambos membros é positivo , elevando ao quadrado

tan^2 x = 25/4 . Porém sabemos q 1 + tan^2 x = sec^2 x = 1/cos^2 x .

Então , sec^2 x = 1/cos^2 x =   tan^2 x  +1 =  25/4 + 1 = 29/4 . Logo cos^2(x) = 4/29 ou seja

|cos(x)| = 2/\sqrt{29} . Como cos(x) < 0 , obtemos cos(x) =- 2/\sqrt{29} .

Agora tente terminar . Importante é compreender a ideia geral ...


Obrigada pela ajuda.
Eu já havia feito os cálculos e cheguei nos valores de sen x e cos x. O meu problema é só o intervalo. Como cheguei em um valor positivo para o cos x, apenas coloco o sinal negativo? Queria saber por que?
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagempor e8group » Sex Abr 18, 2014 14:08

Por favor mostre sua resolução , assim poderei te ajudar. A princípio que posso dizer é q algo errado , cosseno é sempre negativo no intervalo .
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagempor Lana Brasil » Sex Abr 18, 2014 14:29

santhiago escreveu:Por favor mostre sua resolução , assim poderei te ajudar. A princípio que posso dizer é q algo errado , cosseno é sempre negativo no intervalo .


Obrigada novamente. Acabei de descobrir meu erro bobo. Simplesmente esqueci de colocar + e - ao tirar raiz do cos x. Ou seja, a positiva não serve.
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagempor e8group » Sex Abr 18, 2014 15:30

Ok. :

Sempre tenha em mente que \sqrt{a^2} não é a e sim |a| . Logo , se a < 0 ,

|a| = - a > 0 , ou seja ,\sqrt{a^2} = -a . Caso , a > 0 ou a = 0 , |a| = a .  Neste caso sim [tex] \sqrt{a^2} = a .
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?