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[Trigonometria] Equação

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Mensagempor mota_16 » Qua Dez 11, 2013 20:12

Pessoal, esse eu não consegui fazer. Tentei substituir o \frac{\pi}{9} na euqação, mas sem sucesso. Passei a resolver as equações do enunciado, mas não soube o que fazer com as suas raízes.

Pode-se mostrar que cos3a=4{cos}^{3}a-3cosa. Uma decorrência dessa fórmula é que cos\left(\frac{\pi}{9} \right) é solução da equação:
a) {x}^{3}-x+1=0
b) 4{x}^{3}-3x-1=0
c) 4{x}^{3}-3x+1=0
d) 8{x}^{3}-6x+1=0
e) 8{x}^{3}-6x-1=0

Gabarito: E
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Re: [Trigonometria] Equação

Mensagempor e8group » Qua Dez 11, 2013 20:38

Sai de imediato da relação dada com escolha particular para a .Aceitando que

cos(3a) = 4cos^3(a) - 3cos(a) . Segue-se que

4cos^3(a) - 3cos(a) - cos(3a) = 0 . Em particular para a = \pi/9 obterá o resultado .
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Re: [Trigonometria] Equação

Mensagempor mota_16 » Qua Dez 11, 2013 20:48

Desculpe-me a falta de conhecimento.

De fato, tinha feito isso mesmo:

Escrevi 4{cos}^{3}\left(\frac{\pi}{9} \right)-3cos\left(\frac{\pi}{9} \right)-cos3\left(\frac{\pi}{9} \right)=0. Mas aqui eu parei, pois cos\left(\frac{\pi}{9} \right)=20 graus e não é um ângulo notável.

Como prosseguir?
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Re: [Trigonometria] Equação

Mensagempor e8group » Qua Dez 11, 2013 20:58

Não se preocupe ,o objetivo não é calcular o cosseno de \pi/9 ,como tu notou não é notável . Só queremos saber quais das alternativas apresentam a equação cuja solução é cos(\pi/9) . Tente novamente e caso não consiga post .
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Re: [Trigonometria] Equação

Mensagempor mota_16 » Qua Dez 11, 2013 21:09

Minha dúvida é a seguinte: eu não sei o valor de cos(pi/9), mas preciso identificar qual a equação das alternativas tem esse valor. Aqui já me deu um nó. E outra as equações das alternativas não são trigonométricas, então como eu vou saber qual delas é a correta?
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Re: [Trigonometria] Equação

Mensagempor e8group » Qua Dez 11, 2013 21:13

Veja um exemplo para exemplificar :

Sabendo-se que para certo r(complexo) tem-se e^{r} =  \frac{1}{e^r} + e^{2r} . Segue daí ,

e^{r} - \frac{1}{e^r} - e^{2r}  =  0 e multiplicando por e^{r} ,

e^{2r}  -e^{3r} -1   =  0 ou ainda -(e^{r})^3 +(e^r)^2 - 1 =  0 . E aqui vemos que e^r corresponde a uma das soluções da eq. polinomial -3x^2 +x^2 - 1 = 0 .
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Re: [Trigonometria] Equação

Mensagempor e8group » Qua Dez 11, 2013 21:20

Não precisa veric
mota_16 escreveu:Minha dúvida é a seguinte: eu não sei o valor de cos(pi/9), mas preciso identificar qual a equação das alternativas tem esse valor. Aqui já me deu um nó. E outra as equações das alternativas não são trigonométricas, então como eu vou saber qual delas é a correta?


Veja outro exemplo simples só para ver se você compreendeu .

Suponha-se que 6 \lambda^2 + 3\lambda  - 1 =  0 para certo \lambda (Não precisar calcular ) . Me diga uma equação polinomial de grau 2 em que \lambda é solução .
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Re: [Trigonometria] Equação

Mensagempor mota_16 » Qua Dez 11, 2013 23:26

Agora sim, acho que compreendi.

Pensei em fazer assim:

4{cos}^{3}\left( \frac{\pi}{9} \right)-3cos\left( \frac{\pi}{9}\right)-cos3\left( \frac{\pi}{9}\right)=0
4{cos}^{3}\left( \frac{\pi}{9} \right)-3cos\left( \frac{\pi}{9}\right)-cos\left( \frac{\pi}{3}\right)=0
4{cos}^{3}\left( \frac{\pi}{9} \right)-3cos\left( \frac{\pi}{9}\right)-\frac{1}{2}=0

8{cos}^{3}\left( \frac{\pi}{9} \right)-6cos\left( \frac{\pi}{9}\right)-1=0

É isso, não é?

Nada como um bom professor. Muito obrigado santhiago!
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Re: [Trigonometria] Equação

Mensagempor e8group » Qua Dez 11, 2013 23:30

Não há de quê . É isso ,está correto,conseguiu chegar lá !
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Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.