Geometria - sen?, tg?, cotg?, cos?, sec?, cossec?

por **jp_jp300** » Ter Set 25, 2007 18:57

Meu professor passou estas formulas e estes exercìcios: Alguém sabe resover?

Ele não sabe dar aula e ainda cobra dos alunos!!! Isto vale 7 e é pro dia 28!!! Me ajudem, por favor!!

tg? = sen?/cos?

cotg? = cos?/sen?

sec = 1/cos?

cossec? = 1/sen?

(cos?)² + (sen?)² = 1

a) cos? = -4/5

b) cossec? = 13/5

c) sec? = 2

d)tg? =4/3

e) cotg? = 1

f) cotg? = ?3

Eu não consegui por as frações uma emcima da outra e "?" é aletra grega "alfa"

por **jp_jp300** » Ter Set 25, 2007 19:14

Ah... Esqueci!!! meu professor pediu para dar a resposta de cada questão em cada formula.

por **admin** » Ter Set 25, 2007 19:34

Olá.
Por favor, esclareça o que está sendo perguntado no exercício.
Ou seja, qual é a questão?

por **jp_jp** » Qua Set 26, 2007 16:35

Não existe pergunta formada.

O professor apenas pasou as formulas, as questões e pediu para que cada questão fosse calculada em cada formula.

por **admin** » Qua Set 26, 2007 17:35

jp_jp escreveu:Não existe pergunta formada.

O professor apenas pasou as formulas, as questões e pediu para que cada questão fosse calculada em cada formula.

Olá jp_jp.
Sugiro que solicite ao seu professor esta informação.
Vale para qualquer exercício, você precisa saber o que calcular.

Além disso, seria interessante uma discussão sobre as origens destas chamadas "fórmulas".

Abraço!

por **IMEano02** » Qua Set 26, 2007 18:10

jp_jp

De fato a questão está mal formulada, ou talvez EU não tenha entendido o enunciado (se é que ele existe!).

Talvez seu professor tenha solicitado os valores dos ângulos "a" (alfa). Ou, uma vez definidos os conceitos de tangente, secante, cossecante e cotagente, você tenha de escrevê-los apenas em função do seno e do cosseno.

As duas situações acima são apenas hipóteses, ou seja, é necessário o enunciado para podermos te ajudar.

Exemplo: Tendo em vista que estas funções "co" são sempre as inversas de outras funções este exercício não me parece um abuso do seu professor.

Caso vc tenha em mãos um livro de Matemática leia as definições, certamente elas reforçarão as minhas palavras acima.

De qualquer forma, dada a escassez de tempo, encaminho a minha intuição (experiência de ex-aluno do Ensino Médio):

Segue abaixo o meu "palpite" para a sua solução (e quem sabe minha contribuição para uma nota diferente de zero!):

Uma vez que antes dos itens de a) a f) exitem algumas definições, tratemos de utilizá-las:

Portanto teremos:

a) cos? = -4/5, podemos determinar o valor da secante, pois: sec = 1/cos?, donde obtemos que sec = -5/4, ou seja, perceba que o "valor numérico" da secante corresponde ao inverso do valor do cosseno!

Da mesma forma procedemos nos demais itens, ou seja:

b) cossec? = 13/5, aqui temos que o valor numérico da cossecante corresponde ao inverso do valor do seno, ou seja, da relação anteriormente mencionada por vc ( cossec? = 1/sen?) tiramos que: sena = 1/cosseca, sendo assim: sena = 5/13.

c) sec? = 2, semelhante ao que vimos no item a), podemos escrever: uma vez que sec = 1/cos?, temos que: cosa = 1/2.

Você está percebendo a relação que existe entre essas funções?

Como elas se relacionam pelo inverso de cada uma, uma vez que sabemos o valor de uma delas somos "capazes" de obter o valor da outra função, esclarecendo que neste caso as funções em questão são as funções trigonométricas, ou seja: seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente.

Perceba que por se tratar de "funções inversas" para alguns valores numéricos as funções trigonométricas podem não estar definidas, serei mais explícito: quando você se deparar com a situação em que o denominador corresponde ao valor zero caberá uma análise mais cuidadosa, por isso a necessidade de se compreender o SIGNIFICADO destas funções, pois através de seus respectivos gráficos podemos evitar certos erros!

Dando prosseguimento aos outros três itens ainda pendentes:

d) tg? =4/3, daqui podemos obter o valor numérico de duas funções, isto porque: tg? = sen?/cos?, ou seja, sena = 4 e cosa = 3.

e) cotg? = 1, das definições descritas na sua pergunta também temos que: cotg? = cos?/sen?, ou seja, perceba que a cotangente corresponde ao inverso da função tangente, ou seja, cotga = 1/(sena/cosa) = cosa/sena, donde concluímos apenas pela igualdade entre os valores do seno e do cosseno, pois a razão entre eles corresponde a 1.

Aqui no item e) deparamo-nos com uma sutileza, ou seja, como o quociente "cosa/sena" resulta em 1 concluímos pela igualdade mencionada anteriormente, ou seja, cosa = sena.

Só que nas relações fornecidas por você temos que: (cos?)² + (sen?)² = 1, e, substituindo o cosa por sena, obtemos:

(sen?)² + (sen?)² = 1, ou seja, 2(sen?)² = 1, donde: (sen?)² = 1/2, resultando em: sena = ?2/2. (lembre-se que para obter este resultado basta multiplicar a fração obtida por ?2/?2, ou seja, (1/?2) * (?2/?2) = ?2/2, certo?).

Perceba que caso você substituísse o sena por cosa na igualdade acima obteria o mesmo resultado, pois já sabemos que cosa = sena.

E, FINALMENTE:

f) cotg? = ?3, assim como vimos no item anterior temos que: cotg? = cos?/sen?, ou seja, de maneira mais explícita, temos que: cosa = ?3 e que sena = 1, isto porque: cotga = ?3 = ?3/1 = cosa/sena.

Espero ter te ajudado.

E não fique com raiva do professor e muito menos de mim!

Lembre-se de consultar um livro para analisar melhor alguns exemplos.

Certamente esta foi a intenção do seu professor, ou seja, que os alunos percebessem as relações existentes entre as funções trigonométricas.

Repare que no decorrer dos seis itens propostos [do a) ao f)] utilizamos todas as relações mencionadas no enunciado fornecido por você!!

Sugiro que escreva as soluções novamente, utilizando a simbologia adequada, ou seja, exagerei no texto para tentar facilitar a sua compreensão, e espero que você seja mais enxuto, utilizando, por exemplo, o símbolo de "isto implica que", ou seja, a famigerada "flechinha".

Abraço,

E até mais!

por **admin** » Ter Mar 11, 2008 21:28

Olá.

Os itens (d), (e) e (f) precisam de mais cuidado porque o conjunto imagem das funções seno e cosseno é limitado, vejam:

$-1 \leq sen\alpha \leq 1$

$-1 \leq cos\alpha \leq 1$

Em outras palavras, não pode ocorrer que:

$sen\alpha = 4$ ou $cos\alpha = 3$ ou $cos\alpha = \sqrt{3}$

Podemos obter os valores corretos por Pitágoras e semelhança de triângulos, no círculo trigonométrico:

Em d) $tg\alpha = \frac43$
Represente a tangente no círculo trigonométrico, cujo valor é $\frac43$ .
No triângulo retângulo relacionado, a tangente é um cateto. O outro cateto tem valor 1.
Por Pitágoras, encontramos a hipotenusa, cujo valor é $\frac53$ .

Por semelhança de triângulos, encontramos o valor do seno:
$\frac{\frac43}{sen\alpha} = \frac{\frac53}{1}$

$sen\alpha = \frac{\frac43}{\frac53}$

$sen\alpha = \frac45$

Também por semelhança, encontramos o valor do cosseno:
$\frac{1}{cos\alpha} = \frac{\frac53}{1}$

$cos\alpha = \frac{1}{\frac53}$

$cos\alpha = \frac35$

Reparem que os valores de seno e cosseno atendem à condição da imagem (estão entre -1 e 1) e ainda vale a relação inicial:
$tg\alpha = \frac{sen\alpha}{cos\alpha} = \frac{\frac45}{\frac35} = \frac43$

Para o caso f) $cotg\alpha = \sqrt{3}$
Analogamente, desenhe o triângulo retângulo relacionado à cotangente no círculo trigonométrico.
A cotangente é um dos catetos, o outro vale 1.
Por Pitágoras, encontramos a hipotenusa que vale 2.

E somente então, por semelhança, encontramos o cosseno:

$\frac{\sqrt{3}}{cos\alpha} = \frac21$

$cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

E também o seno:

$\frac{1}{sen\alpha} = \frac21$

$sen\alpha = \frac12$

Conferindo a relação inicial:

$cotg\alpha = \frac{cos\alpha}{sen\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac12} = \sqrt{3}$

Em e) $cotg\alpha = 1$
Também encontramos a hipotenusa por Pitágoras.
Um cateto é a cotangente que vale 1, o outro também é 1, logo a hipotenusa é $\sqrt{2}$ .

Por semelhança, encontramos o cosseno:
$\frac{1}{cos\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{1}$

$cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

E o seno, idem:
$\frac{1}{sen\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{1}$

$sen\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Tanto que:

$cotg\alpha = \frac{cos\alpha}{sen\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

Como sempre deve ocorrer, os valores de seno e cosseno estão entre -1 e 1.

Vale ressaltar também que a "função inversa" do seno é arcsen!
A "função inversa" do cosseno é arccos!

Mais detalhes neste outro tópico: círculo unitário e algumas relações trigonométricas.

Espero ter ajudado!