Duvida equação trigonométrica

por **Steven Draftsman** » Sex Jun 25, 2010 02:44

Não consigo terminar esse exercício, por favor, preciso de ajuda

01- (Fuvest) Ache todas as soluções da equação sen³x*cosx-3senx*cos³x=0

tentei primeiro deixando tudo igual a seno, assim:

sen³x*(1-senx)-3senx*(1-senx)=0

mas parei ai, não consigo mais.
agradeço a ajuda

por **Douglasm** » Sex Jun 25, 2010 09:56

Olá Steven. Nós temos que pelo menos transformar essa equação num produto. As relações trigonométricas que usarei aqui são as seguintes:

sen^2 x + cos^2 x = 1

Comecemos:

$sen^3x(cos x) - 3senx(cos^3x) = 0 \; \therefore$

$sen x . cos x (sen^2x - 3cos^2x) = 0 \; \therefore$

$sen x . cos x [sen^2x - 3(1-sen^2 x)] = 0 \; \therefore$

$sen x . cos x (sen^2x + 3sen^2x - 3) = 0 \; \therefore$

$sen x . cos x (4sen^2x - 3) = 0 \; \therefore$

-cosx(sen3x) = 0

Agora é só observarmos os possíveis resultados que são:

cos x = 0 ou sen 3x = 0

Assim você encontrará que as raízes são:

$S=\left{ \frac{k\pi}{2} \; ; k\pi + \frac{\pi}{3} \; ; \; k\pi - \frac{\pi}{3} \right} \; , K \; \in\; Z$

Até a próxima.