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[TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

[TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor brunadultra » Qua Jan 23, 2013 15:51

Questão 15 (UNEB 2013): A figura mostra um instrumento utilizado para medir o
diâmetro de pequenos cilindros. Ele consiste em um
bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em
forma de V, contendo uma escala. O cilindro é colocado
na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros,
é o número que, na escala, corresponde ao ponto de
tangência entre o cilindro e o segmento AB.
Nessas condições, ao construir a escala de um
instrumento desses, o número 2 corresponde a um
certo ponto do segmento AB.
Sendo d a distância desse ponto ao ponto A, pode-se afirmar que o valor de d, em cm, é:

Resposta: RAÍZ DE 1+cos(teta)/1-cos(teta)
Anexos
mat2.jpg
FIGURA
mat2.jpg (15.42 KiB) Exibido 4394 vezes
brunadultra
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor e8group » Qui Jan 24, 2013 10:31

Bom dia .Veja a figura em anexo
mat2.jpg.png



Façamos , |BC| =| BD| = x > 0  ,  |BE| = d > 0 ( o que queremos )

Pelo enunciado , obtemos que o raio da circunferência tem medida 1 u.c (Se permancer dúvidas leia novamente o texto ).

No triângulo retângulo , AEC temos que : |EC| = tan(\theta) (note que \theta é agudo por isso desprezamos o módulo )

Ora ,se |BC| = (|BE| = d ) + (|EC| = tan(\theta)  = x então : d = x - tan\theta (1) .

Por outro lado ,

no triângulo BED , obtemos que cos(\theta) = d/x \implies  x = cos(\theta) d (2)


Comparando as expressões (1) e (2) ,segue que : d = \frac{sin(\theta)}{1-cos(\theta) } que em consequência da relação trigonométrica fundamental sin^2 x + cos^2 x  = 1 obtemos , d = \frac{\sqrt{1-cos^2(\theta)}}{1-cos(\theta)} que devido a propriedade a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) e por multiplicarmos tanto o numerador quanto denominador por \sqrt{1-cos(\theta)} ,finalmente obtemos :

d= \frac{ \sqrt{ 1 + cos(\theta)} }{ \sqrt{ 1 - cos(\theta)}

OBS.: Aconselho que refaça todas as contas , pois foi omitido algumas contas .
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor brunadultra » Qui Jan 24, 2013 13:47

Olá santhiago,

eu consegui chegar até a parte em que {d}^{2}=\frac{{sen}^{2}\theta}{{(1-cos\theta})^{2}} . A partir daí eu encontro um resultado que não bate com a resposta: {}\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta} (dentro da raíz)

Você poderia me ajudar?
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor e8group » Qui Jan 24, 2013 21:02

Boa noite . Começando de onde você chegou(que estar correto) , podemos comparar o numerador sin^2(\theta) com a indentidade trigonométrica fundamental sin^2(\theta)  + cos^2(\theta)  = 1 de onde vamos obter sin^2(\theta) = 1 - cos^2(\theta) . Ou seja , d^2 = \frac{sin^2(\theta)}{(1-cos(\theta))^2} = \frac{1 - cos^2(\theta))}{(1-cos(\theta))^2} .Extraindo a raiz quadrada de ambos membros , \sqrt{d^2}  =  \sqrt{\frac{1 - cos^2(\theta)}{(1-cos(\theta))^2}} =   \frac{\sqrt{1 - cos^2(\theta)}}{\sqrt{(1 - cos(\theta))^2}}   = \frac{\sqrt{1 - cos^2(\theta)}}{1 - cos(\theta)} = \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\cdot\sqrt{1+cos(\theta)}}{1-cos(\theta)} . E por fim , multiplicando-se d por \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}} {\sqrt{1-cos(\theta)}} (note que não estamos alterando o resultado ,estamos multiplicando por 1 que é o elemento neutro do produto ) ,

d = \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\cdot\sqrt{1+cos(\theta)}}{1-cos(\theta)} \cdot \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}} {\sqrt{1-cos(\theta)}}

d=  \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\sqrt{1-cos(\theta)}\sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}

d=  \frac{\sqrt{[1-cos(\theta)]^2} \sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}

d=  \frac{[1-cos(\theta)]\sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}

Após cancelarmos o termo 1-cos(\theta) " encima e embaixo "

d=  \frac{\sqrt{1+cos(\theta)}}{\sqrt{1-cos(\theta)}} = \sqrt{\frac{1+cos(\theta)}{1-cos(\theta)}}

Qualquer dúvida só postar .
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor e8group » Sex Jan 25, 2013 08:17

Ou melhor ...

d^2 = \frac{sin^2 \theta}{(1-cos\theta)^2}=\frac{1-cos^2 \theta}{(1-cos\theta)^2}= \frac{(1-cos\theta)(1+cos\theta)}{(1-cos\theta)(1-cos\theta)} = \frac{1 +cos\theta}{1- cos\theta}


\therefore d = \sqrt{\frac{1 +cos\theta}{1- cos\theta}} .
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor zenildo » Qua Dez 13, 2017 17:28

Eu não entendi o porquê de colocar BC, já que tinha B naquele ponto.Tambem não entendi o porquê de BC = BD e escrever que é igual a x. Por favor, me explique.
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


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Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)