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[TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

[TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor brunadultra » Qua Jan 23, 2013 15:51

Questão 15 (UNEB 2013): A figura mostra um instrumento utilizado para medir o
diâmetro de pequenos cilindros. Ele consiste em um
bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em
forma de V, contendo uma escala. O cilindro é colocado
na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros,
é o número que, na escala, corresponde ao ponto de
tangência entre o cilindro e o segmento AB.
Nessas condições, ao construir a escala de um
instrumento desses, o número 2 corresponde a um
certo ponto do segmento AB.
Sendo d a distância desse ponto ao ponto A, pode-se afirmar que o valor de d, em cm, é:

Resposta: RAÍZ DE 1+cos(teta)/1-cos(teta)
Anexos
mat2.jpg
FIGURA
mat2.jpg (15.42 KiB) Exibido 4302 vezes
brunadultra
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor e8group » Qui Jan 24, 2013 10:31

Bom dia .Veja a figura em anexo
mat2.jpg.png



Façamos , |BC| =| BD| = x > 0  ,  |BE| = d > 0 ( o que queremos )

Pelo enunciado , obtemos que o raio da circunferência tem medida 1 u.c (Se permancer dúvidas leia novamente o texto ).

No triângulo retângulo , AEC temos que : |EC| = tan(\theta) (note que \theta é agudo por isso desprezamos o módulo )

Ora ,se |BC| = (|BE| = d ) + (|EC| = tan(\theta)  = x então : d = x - tan\theta (1) .

Por outro lado ,

no triângulo BED , obtemos que cos(\theta) = d/x \implies  x = cos(\theta) d (2)


Comparando as expressões (1) e (2) ,segue que : d = \frac{sin(\theta)}{1-cos(\theta) } que em consequência da relação trigonométrica fundamental sin^2 x + cos^2 x  = 1 obtemos , d = \frac{\sqrt{1-cos^2(\theta)}}{1-cos(\theta)} que devido a propriedade a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) e por multiplicarmos tanto o numerador quanto denominador por \sqrt{1-cos(\theta)} ,finalmente obtemos :

d= \frac{ \sqrt{ 1 + cos(\theta)} }{ \sqrt{ 1 - cos(\theta)}

OBS.: Aconselho que refaça todas as contas , pois foi omitido algumas contas .
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor brunadultra » Qui Jan 24, 2013 13:47

Olá santhiago,

eu consegui chegar até a parte em que {d}^{2}=\frac{{sen}^{2}\theta}{{(1-cos\theta})^{2}} . A partir daí eu encontro um resultado que não bate com a resposta: {}\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta} (dentro da raíz)

Você poderia me ajudar?
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor e8group » Qui Jan 24, 2013 21:02

Boa noite . Começando de onde você chegou(que estar correto) , podemos comparar o numerador sin^2(\theta) com a indentidade trigonométrica fundamental sin^2(\theta)  + cos^2(\theta)  = 1 de onde vamos obter sin^2(\theta) = 1 - cos^2(\theta) . Ou seja , d^2 = \frac{sin^2(\theta)}{(1-cos(\theta))^2} = \frac{1 - cos^2(\theta))}{(1-cos(\theta))^2} .Extraindo a raiz quadrada de ambos membros , \sqrt{d^2}  =  \sqrt{\frac{1 - cos^2(\theta)}{(1-cos(\theta))^2}} =   \frac{\sqrt{1 - cos^2(\theta)}}{\sqrt{(1 - cos(\theta))^2}}   = \frac{\sqrt{1 - cos^2(\theta)}}{1 - cos(\theta)} = \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\cdot\sqrt{1+cos(\theta)}}{1-cos(\theta)} . E por fim , multiplicando-se d por \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}} {\sqrt{1-cos(\theta)}} (note que não estamos alterando o resultado ,estamos multiplicando por 1 que é o elemento neutro do produto ) ,

d = \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\cdot\sqrt{1+cos(\theta)}}{1-cos(\theta)} \cdot \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}} {\sqrt{1-cos(\theta)}}

d=  \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\sqrt{1-cos(\theta)}\sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}

d=  \frac{\sqrt{[1-cos(\theta)]^2} \sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}

d=  \frac{[1-cos(\theta)]\sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}

Após cancelarmos o termo 1-cos(\theta) " encima e embaixo "

d=  \frac{\sqrt{1+cos(\theta)}}{\sqrt{1-cos(\theta)}} = \sqrt{\frac{1+cos(\theta)}{1-cos(\theta)}}

Qualquer dúvida só postar .
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor e8group » Sex Jan 25, 2013 08:17

Ou melhor ...

d^2 = \frac{sin^2 \theta}{(1-cos\theta)^2}=\frac{1-cos^2 \theta}{(1-cos\theta)^2}= \frac{(1-cos\theta)(1+cos\theta)}{(1-cos\theta)(1-cos\theta)} = \frac{1 +cos\theta}{1- cos\theta}


\therefore d = \sqrt{\frac{1 +cos\theta}{1- cos\theta}} .
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor zenildo » Qua Dez 13, 2017 17:28

Eu não entendi o porquê de colocar BC, já que tinha B naquele ponto.Tambem não entendi o porquê de BC = BD e escrever que é igual a x. Por favor, me explique.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?