Funções circulares inversas

por **Ananda** » Qui Mar 20, 2008 20:03

Boa noite!

Eis o exercício:

Calcular o valor de $y=sen\left[2.arc \,cos \frac{3}{5} \right]$

Resposta: $\frac{24}{25}$

Fiz do seguinte modo:

$cos\frac{a}{2}=\frac{3}{5}$

Daí usei as fórmulas de arco duplo para descobrir cos a:

$cos\left(2\frac{a}{2} \right)=2cos^2\left(\frac{a}{2} \right)-1$

$2.\frac{9}{25}-1$

$\frac{18-25}{25}=-\frac{7}{25}$

Daí, para descobrir o seno, usei a relação fundamental que deu:

$sen=\sqrt[]{1-\frac{49}{625}}= \sqrt[]{\frac{576}{625}}=\pm\frac{24}{25}$

Gostaria de saber se a resposta do livro que está errada ou se fui eu que errei... Pensei e não vi uma justificativa para só considerar a possibilidade positiva.

Grata desde já!

Excelente feriado!

por **admin** » Qui Mar 20, 2008 23:23

Olá Ananda, boa noite!

Na obtenção do seno através da relação fundamental, há um passo omitido por você que é o módulo ao extrair a raiz quadrada dos dois membros.

Lembrando da definição de módulo:
$|x| = \left\{ \begin{matrix} x & se & x\geq0 \\ -x & se & x<0 \\ \end{matrix} \right.$
Repare que o sinal negativo é para garantir que o resultado seja sempre positivo.

Com a substituição que você fez, o $cos\left( 2 \frac{a}{2} \right)$ já é definitivamente negativo, está correto.
E ainda, $0 \leq cos^2\left( 2 \frac{a}{2} \right) \leq 1$ .

Ou seja, $sen\left( 2 \frac{a}{2} \right)$ já é positivo (como pode-se constatar em sua última raiz), por isso não cabe o segundo caso da definição de módulo.

Ananda, apenas outro comentário:
Quando eu fiz para conferir, também utilizei o arco duplo, mas do seno.
Achei mais imediato, tente fazer.
Além de aplicarmos a relação fundamental uma única vez. Você precisou aplicar duas (no começo e no final).
Os números também ficam menores.

Eu fiz a seguinte substituição:
$a = arccos\frac35$

$y = sen2a = 2sena \, cosa = 2 \sqrt{1-cos^2{a}} \cdot cosa$

Aqui, as justitificativas do sinal são as seguintes:

cosa > 0