Alguem sabe a Resolucao desta questao?

por **SsEstevesS** » Dom Mar 18, 2012 21:30

Olá,
Vejamos se alguém sabe como resolver esta questão, estou precisando.....

Postei 2 fotos para entenderem melhor o desenho e o que se pede.

Eu ja fiz a letra A, mas nao conssigo fazer a B.

Na figura abaixo temos uma sucessao de triangulos retangulos em que um de seus catetos mede 1cm. Cada angulo TETAn, onde n=1,2,3,4..... , o n representa o angulo formado pela hipotenusa e um cateto de 1cm. Faça o que se pede: :y:

por **MarceloFantini** » Dom Mar 18, 2012 23:56

Mostre o seu raciocínio na letra a, pois dele a letra b segue.

por **SsEstevesS** » Seg Mar 19, 2012 00:21

Fiz PA

amanha mostro o que fiz para chegar na PA

creio que a b, seja PA de 2 ordem....
Mas nao sei como calcular somatorio dos fatores de PA de 2 ordem!

por **MarceloFantini** » Seg Mar 19, 2012 00:38

Se por progressão aritmética de "segunda ordem" você diz a^2 +b^2 +c^2 + ...

, está errado. Isto não é progressão aritmética, é apenas a soma de quadrados. Vai a dica: $\sum_{i=1}^n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Usando isso você deve chegar na resposta.

por **SsEstevesS** » Seg Mar 19, 2012 14:28

Po cara,

é isso ai... Muito obrigado!

Mas voce sabe como se chega nesta formula? qualo caminho que se percorre para chegar la?

grato!

por **MarceloFantini** » Seg Mar 19, 2012 18:53

Não sei deduzir esta expressão, mas sei provar que ela é válida sempre, usando princípio da indução finita. Em todo caso, sabendo-a você já consegue resolver o problema.

por **LuizAquino** » Seg Mar 19, 2012 22:02

MarceloFantini escreveu:Vai a dica: $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

SsEstevesS escreveu:Mas voce sabe como se chega nesta formula? qualo caminho que se percorre para chegar la?

MarceloFantini escreveu:Não sei deduzir esta expressão, mas sei provar que ela é válida sempre, usando princípio da indução finita.

Vamos começar a justificativa desenvolvendo o seguinte somatório:

$\sum_{i=1}^n (i+1)^3 - i^3 = \sum_{i=1}^n 3i^2 + 3i + 1$

$\sum_{i=1}^n (i+1)^3 - i^3 = 3\sum_{i=1}^n i^2 + 3\sum_{i=1}^n i + \sum_{i=1}^n 1$

No segundo membro, note que o primeiro somatório é exatamente o que queremos obter. Já o segundo é uma p. a. de primeiro termo 1, razão 1 e último termo n. Por fim, no terceiro estamos somando o número 1 uma quantidade n de vezes. Desse modo, temos que:

$\sum_{i=1}^n (i+1)^3 - i^3 = \frac{3(1+n)n}{2} + n + 3\sum_{i=1}^n i^2$

Por outro lado, temos que:

$\sum_{i=1}^n (i+1)^3 - i^3 = (\cancel{2^3} - 1^3) + (\cancel{3^3} - \cancel{2^3}) + (\cancel{4^3} - \cancel{3^3}) + \cancel{\cdots} + [(n+1)^3 - \cancel{n^3}]$

$\sum_{i=1}^n (i+1)^3 - i^3 = (n+1)^3 - 1 = n^3 + 3n^2 + 3n$

Usando as informações anteriores, temos que:

$\frac{3(1+n)n}{2} + n + 3\sum_{i=1}^n i^2 = n^3 + 3n^2 + 3n$

$3\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}$

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$