[Equação Trigonométrica] Ibmec-SP

por **rnts** » Sex Jan 27, 2012 12:23

Se $\theta = \frac{\pi}{3}$ , então:
$\frac{\frac{1 - {sen}^{2}\theta}{{tg}^{2}\theta + 1} - \frac{1 - {cos}^{2}\theta}{{cotg}^{2}\theta +1}}{{cos}^{2}\theta - {sen}^{2}\theta}$

Resposta: 1

Tentei de vários jeito, substitui 1-sen² por cos² e 1-cos² por sen²; trocando tg por sen/cos e cotg por cos/sen e calculando MMC. Não consegui, não sei se errei em alguma substituição, mas todas aumentaram a equação ou chegaram a um ponto que não dava mais para simplificarç

por **Arkanus Darondra** » Sex Jan 27, 2012 13:25

rnts escreveu:Se $\theta = \frac{\pi}{3}$ , então:
$\frac{\frac{1 - {sen}^{2}\theta}{{tg}^{2}\theta + 1} - \frac{1 - {cos}^{2}\theta}{{cotg}^{2}\theta +1}}{{cos}^{2}\theta - {sen}^{2}\theta}$

Resposta: 1

Tentei de vários jeito, substitui 1-sen² por cos² e 1-cos² por sen²; trocando tg por sen/cos e cotg por cos/sen e calculando MMC. Não consegui, não sei se errei em alguma substituição, mas todas aumentaram a equação ou chegaram a um ponto que não dava mais para simplificarç

Boa Tarde!
$\frac{\frac{1 - {sen}^{2}\theta}{{tg}^{2}\theta + 1} - \frac{1 - {cos}^{2}\theta}{{cotg}^{2}\theta +1}}{{cos}^{2}\theta - {sen}^{2}\theta} \Rightarrow$

$\frac{\frac{cos^2\theta}{sec^2\theta} - \frac{sen^2\theta}{cosec^2\theta}}{cos^2\theta-sen^2\theta} \Rightarrow$

$\frac{\frac{cos^2\theta}{\frac{1}{cos^2\theta}}-\frac{sen^2\theta}{\frac{1}{sen^2\theta}}}{cos^2\theta-sen^2\theta}\Rightarrow$

$\frac{cos^2\theta.cos^2\theta-sen^2\theta.sen^2\theta}{{cos}^{2}\theta - {sen}^{2}\theta}$

Agora, tente terminar. :y:

por **rnts** » Sex Jan 27, 2012 14:21

Arkanus Darondra escreveu:Boa Tarde!
$\frac{\frac{1 - {sen}^{2}\theta}{{tg}^{2}\theta + 1} - \frac{1 - {cos}^{2}\theta}{{cotg}^{2}\theta +1}}{{cos}^{2}\theta - {sen}^{2}\theta} \Rightarrow$

$\frac{\frac{cos^2\theta}{sec^2\theta} - \frac{sen^2\theta}{cosec^2\theta}}{cos^2\theta-sen^2\theta} \Rightarrow$

$\frac{\frac{cos^2\theta}{\frac{1}{cos^2\theta}}-\frac{sen^2\theta}{\frac{1}{sen^2\theta}}}{cos^2\theta-sen^2\theta}\Rightarrow$

$\frac{cos^2\theta.cos^2\theta-sen^2\theta.sen^2\theta}{{cos}^{2}\theta - {sen}^{2}\theta}$

Agora, tente terminar.

Nossa, muito obrigado. Juro que nem lembrei das fórmulas da cossecante e da secante. Fiz aqui e deu certo, obrigado.
Meu problema com trigonometria é esse, várias fórmulas que dão para usar e não sei qual tentar. Negócio é fazer bastante exercício.

por **Arkanus Darondra** » Sex Jan 27, 2012 15:35

rnts escreveu:Meu problema com trigonometria é esse, várias fórmulas que dão para usar e não sei qual tentar. Negócio é fazer bastante exercício.

Esse é o caminho. :-D

Decidi postar um arquivo que tenho salvo no PC com fórmulas trigonométricas. Espero que goste:
Fórmulas:
$tgx=\frac{senx}{cosx}$

$cotgx=\frac{cosx}{senx}=\frac{1}{tgx}$

$secx=\frac{1}{cosx}$

$cossecx=\frac{1}{senx}$

$sec^2x=1+tg^2x =\frac{1}{cos^2x}$

$cossec^2x=1+cotg^2x =\frac{1}{sen^2x}$

Soma e subtração de arcos:
sen(x+y)=senx.cosy+seny.cosx

$tg(x+y)=\frac{tgx+tgy}{1-tgx.tgy}$

$tg(x-y)=\frac{tgx-tgy}{1+tgx.tgy}$

Arco duplo:
sen(2x)=2.senx.cosx

cos(2x)=cos^2x-sen^2x=2.cos^2x-1=1-2.sen^2x

$tg(2x)=\frac{2.tgx}{1-tg^2x}$

Arco metade:
$sen(\frac{x}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$

$cos(\frac{x}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}$

$tg(\frac{x}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}$

Fatoração:
$senx+seny=2sen(\frac{x+y}{2}).cos(\frac{x-y}{2})$

$senx-seny=2sen(\frac{x-y}{2}).cos(\frac{x+y}{2})$

$cosx+cosy=2cos(\frac{x+y}{2}).cos(\frac{x-y}{2})$

$cosx-cosy=2sen(\frac{x+y}{2}).sen(\frac{x-y}{2})$

$tgx+tgy=\frac{sen(x+y)}{cosx.cosy}$

$tgx-tgy=\frac{sen(x-y)}{cosx.cosy}$

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