Trigonometria

por **Francisco Vieira** » Dom Dez 04, 2011 15:12

Quantas soluções a equação trigonométrica sen^6(x) + cos^6(x) = 1 admite no intervalo [0, 100]?
A) 64
B) 60
C) 56
D) 52
E) 48

Questão 21 da prova da Uespi 2011.

por **eds_eng** » Seg Dez 05, 2011 18:41

resolvendo essa equação, teremos:

(senx)^6 + [(cosx)^2]^3 = 1

pela relação fundamental da trigonometria:

(senx)^2+ (cosx)^2 = 1

assim, isolando (cosx)^2

e substituindo na equação original, teremos:

(senx)^6 + [1-(senx)^2]^3 = 1

desenvolvendo o binômio na equação:

(senx)^6 + 1 + 3*1*[(senx)^2]^2 - 3*1^2*(senx)^2 - (senx)^6 = 1

assim, vamos ficar com a seguinte estrutura:

3*(senx)^4 - 3*(senx)^2 = 0

resolvendo:

(senx)^2*[ (senx)^2 - 1 ]= 0

assim,

ou

logo, concluímos que:

senx = 0

sabe-se que $x \in [ 0 ; 100 ]$

OBS: o valor 100 está em radianos.

2 $\pi$ rad $\approx$ 6,18 rad

assim temos que 16 voltas completas no círculo trigonométrico garante um ângulo de, aproximadamente 99 rad.

agora vamos analisar cada valor do senx

:

caso 1 : senx = 0

em uma volta completa, temos que senx = 0

implica em dois pontos : 0 e 2 $\pi$

logo, em 16 voltas teremos 2*16=32 pontos que satisfazem essa condição

caso 2 : senx = 1

em uma volta completa, temos que senx = 1

implica em apenas um ponto : $\frac{\pi}{2}$

logo, em 16 voltas, teremos 16 pontos que satisfazem essa condição

caso 3 : senx = -1

em uma volta completa, temos que senx = -1

implica em apenas um ponto : $\frac{3\pi}{2}$

logo, em 16 voltas completas, teremos 16 pontos que satisfazem essa condição

assim, o números de soluções da equação é 32 +16 + 16 = 64 soluções

LETRA A

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