[Trigonometria] Expressão geral

por **leoslae** » Sex Nov 25, 2011 10:49

Um dos vértices, de um decágono regular inscrito em um círculo trigonométrico, coincide com o arco trigonométrico pi/4. Determine uma expressão geral para todos os dez vértices do decágono.

a) 4pi + 5k pi/20 b) 5 pi + 4kpi/20 c) 4 pi + 5 kpi/10 d) 5pi + 4kpi/10

Obs: Preciso dessa questão até as 2 e 40 de hoje. Me ajudem por favor.

por **TheoFerraz** » Sex Nov 25, 2011 13:11

bom... decágono inscrito no circulo trigonométrico, tal que um vertice corresponde a pi/4

seguinte, voce pode determinar uma equação geral, é simples.

Imagine o decágono inscrito no circulo trigonométrico e o angulo focado em $\theta = \frac{ \pi}{4}$ aonde se situa uma das arestras...

Voce concorda que se eu somar $\phi$ , para algum $\phi$ especifico, eu consigo chegar no proximo vértice?

ou seja, se ${\theta}_{0} = \frac{\pi}{4}$

entao ${\theta}_{1} = {\theta}_{0} + \phi = \frac{\pi}{4} + \phi$

e obviamente ${\theta}_{2} = {\theta}_{1} + \phi = \frac{\pi}{4} + \phi \times 2$

em fim... ${\theta}_{n} =\frac{\pi}{4} + \phi \times (n)$

só nos resta saber quem é $\phi$

o que sabemos com toda certeza sobre o decágono?

sabemos que ${\theta}_{0} = \frac{\pi}{4}$

e que ${\theta}_{10} = {\theta}_{0} + 2 \pi$

pela formula ${\theta}_{10} = \frac{\pi}{4} + 10 \times \phi$

e ao mesmo tempo, ${\theta}_{10} = \frac{\pi}{4} + 2 \pi$

entende aonde quero chegar ?

com isso, conseguimos uma formula explícita para qualquer angulo relacionado a qualquer vetice no seu decágono...

$\frac{\pi}{4} + 10 \times \phi = \frac{\pi}{4} + 2 \pi$

$10 \times \phi = 2 \pi$

$\phi = \frac{\pi}{5}$

portanto a formula geral é:

${\theta}_{n} = \frac{\pi}{4} + n \times \frac{\pi}{5}$

que vai corresponder a letra b) caso voce queira dizer com:

5pi + 4kpi/20

na verdade

$\frac{5 \pi + 4 k \pi}{20}$

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