Cefet-mg 2012 questão 03

por **Thulio_Parazi** » Sex Abr 13, 2012 11:12

O conjunto-imagem de $f(x) = \frac{{e}^{x}+ {e}^{-x}}{2}$ , denominado cosseno hiperbólico é :
Como eu faço para resolver esse tipo de questão?
Resolvo utilizando logaritmo? E o que é cosseno hiperbólico?

por **fraol** » Sex Abr 13, 2012 20:52

As imagens de e^x

e de $e^{-x}$ são os reais maiores do que 0, $(0, +\infty)$ , e portanto uma função que seja a soma de e^x

com $e^{-x}$ também é maior do que 0, $(0, +\infty)$ .

Para determinar o intervalo real da imagem você precisa determinar qual é o menor valor da função.

Agora, uma dica: e^x

e $e^{-x}$ são inversos um do outro e o menor valor da soma de um número com o seu inverso ocorre quando esse número é igual a 1.

Veja se consegue continuar a resolver a questão.

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por **Thulio_Parazi** » Seg Abr 16, 2012 09:29

fraol escreveu:As imagens de e de $e^{-x}$ são os reais maiores do que 0, $(0, +\infty)$ , e portanto uma função que seja a soma de com $e^{-x}$ também é maior do que 0, $(0, +\infty)$ .

Para determinar o intervalo real da imagem você precisa determinar qual é o menor valor da função.

Agora, uma dica: e $e^{-x}$ são inversos um do outro e o menor valor da soma de um número com o seu inverso ocorre quando esse número é igual a 1.

Veja se consegue continuar a resolver a questão.

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Não entendi nada e não consigui resolver não.

por **Thulio_Parazi** » Seg Abr 16, 2012 09:33

Não entendi nada e não consigui resolver não.

por **fraol** » Qua Abr 18, 2012 22:26

Vimos no começo da minha postagem que a imagem da soma das funções são os reais positivos. Estamos querendo saber se há alguma restrição nesse conjunto. Então resolvemos analisar o menor valor da função. Procurei um caminho intuitivo - poderíamos ir por caminhos mais formais, mas não é necessário aqui. Então vamos continuar:

Agora, uma dica: e $e^{-x}$ são inversos um do outro e o menor valor da soma de um número com o seu inverso ocorre quando esse número é igual a 1.

Por exemplo, $2 + \frac{1}{2} = 2.5$ , $3 + \frac{1}{3} \approx 9.3$ e assim por diante. Ou seja o menor valor da soma de um número por seu inverso ocorre quando o número é igual a 1.

Assim e^x

deve ser igual a 1 $=> e^x = 1 \iff x = 0$ .

Com isto sabemos que o menor da função dada ocorre para x = 0

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Substituindo esse x na função original:

$f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} => f(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$ .

Com isso a imagem da função é o conjunto dos números reais maiores do que ou igual a 1, isto é o conjunto $[1, \infty)$ .

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