sistema de equações logaritmicas - como resolver isso??

por **vinik1** » Ter Mai 31, 2011 18:00

Tenho a seguintes equações

${y}^{x+1}={(x+1)}^{y}$

${x}^{2}+2x+1={y}^{3}$

Quais os valores d x e y?

Já quebrei muito a cabeça com isso...

por **carlosalesouza** » Qua Jun 01, 2011 01:35

Note que

por aí começamos...

Já que, numa igualdade, podemos elevar ambos os lados ao mesmo expoente, vamos elevar ambos a $\frac{1}{x+1}$ e teremos:

$y = (x+1)^\frac{y}{x+1}$

Na outra igualdade, temos:
$y^3=(x+1)^2\Rightarrow y = (x+1)^\frac{2}{3}$

Assim, seguindo a premissa de euclides: se duas coisas são iguais a uma terceiro, logo as duas primeiras são iguais entre si, então $(x+1)^\frac{y}{x+1}=(x+1)^\frac{2}{3}$

Como temos a mesma base, sabemos que os expoentes são iguais, logo:

$\\ \frac{y}{x+1}=\frac{2}{3}\\ \\ 3y = 2x+2\\ \\ y = \frac{2x+2}{3}$

Assim, creio que a resposta seja: $x,y\in\mathbb{R} | y = \frac{2x+2}{3}$

por **MarceloFantini** » Qua Jun 01, 2011 04:45

Só queria deixar registrado o tópico não tem um nome adequado, pois não há logaritmos no sistema.

por **vinik1** » Qua Jun 01, 2011 08:51

Opa! agora sim! Obrigado, era mais simples do que imaginava, não estava enxergando o produto notável na segunda equação... :lol:

Estava tentando resolver usando logaritmos, pois esse sistema está em uma lista de exercícios de logaritmos.

Tem como resolver usando logaritmos?

$y=\frac{2x+2}{3}$ podemos substituir Y por $({x+1})^{\frac{2}{3}}$ para encontrar os valores?

por **carlosalesouza** » Qua Jun 01, 2011 09:34

De acordo...

Dá uma impressão que se poderia resolver por logaritmo, por conta das relações entre as bases e expoentes das variáveis...

Mas, não se trata realmente de um sistema logarítmico...

E realmente, minha solução está incompleta... fazendo a substituição encontramos os valores de x e y...

Um grande abraço