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sistema de equações logaritmicas - como resolver isso??

sistema de equações logaritmicas - como resolver isso??

Mensagempor vinik1 » Ter Mai 31, 2011 18:00

Tenho a seguintes equações

{y}^{x+1}={(x+1)}^{y}

{x}^{2}+2x+1={y}^{3}

Quais os valores d x e y?


Já quebrei muito a cabeça com isso...
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Re: sistema de equações logaritmicas - como resolver isso??

Mensagempor carlosalesouza » Qua Jun 01, 2011 01:35

Note que x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 por aí começamos...

Já que, numa igualdade, podemos elevar ambos os lados ao mesmo expoente, vamos elevar ambos a \frac{1}{x+1} e teremos:

y = (x+1)^\frac{y}{x+1}

Na outra igualdade, temos:
y^3=(x+1)^2\Rightarrow y = (x+1)^\frac{2}{3}

Assim, seguindo a premissa de euclides: se duas coisas são iguais a uma terceiro, logo as duas primeiras são iguais entre si, então (x+1)^\frac{y}{x+1}=(x+1)^\frac{2}{3}

Como temos a mesma base, sabemos que os expoentes são iguais, logo:

\\
\frac{y}{x+1}=\frac{2}{3}\\ \\
3y = 2x+2\\ \\
y = \frac{2x+2}{3}

Assim, creio que a resposta seja: x,y\in\mathbb{R} | y = \frac{2x+2}{3}
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Re: sistema de equações logaritmicas - como resolver isso??

Mensagempor MarceloFantini » Qua Jun 01, 2011 04:45

Só queria deixar registrado o tópico não tem um nome adequado, pois não há logaritmos no sistema.
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Re: sistema de equações logaritmicas - como resolver isso??

Mensagempor vinik1 » Qua Jun 01, 2011 08:51

Opa! agora sim! Obrigado, era mais simples do que imaginava, não estava enxergando o produto notável na segunda equação... :lol:

Estava tentando resolver usando logaritmos, pois esse sistema está em uma lista de exercícios de logaritmos.

Tem como resolver usando logaritmos?

y=\frac{2x+2}{3} podemos substituir Y por ({x+1})^{\frac{2}{3}} para encontrar os valores?
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Re: sistema de equações logaritmicas - como resolver isso??

Mensagempor carlosalesouza » Qua Jun 01, 2011 09:34

De acordo...

Dá uma impressão que se poderia resolver por logaritmo, por conta das relações entre as bases e expoentes das variáveis...

Mas, não se trata realmente de um sistema logarítmico...

E realmente, minha solução está incompleta... fazendo a substituição encontramos os valores de x e y...

Um grande abraço
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Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?