cálculo de logaritmos

por **ezidia51** » Sex Mar 16, 2018 00:58

Olá fiz estes cálculos mas não sei se estão corretos.
a) ${log}_{8}\frac{1}{16}$ = -log 23(16)=-1/3log 2(16)=-1/3log 2(24)=-1/3 .4log 2(2)=-1/3.4.1=-4/3
B) ${log}_{0,1}1000$ =3log 10(10)=3.1=3
c) ${log}_{0,1}0,01$ =3log 10(10)=3.1=3
d) ${log}_{3}2x+5={log}_{9}4x+1^2$ log a(b)=logc(b)/logc(a)
log9(2x-5)/log9(3)=log 9((4x+1)2) =2log9(2x+5)=log 9((4x+1)2)
log9((2x+5)2)=log 9((4x+1)2)=
(2x+5)2= 4x2 +20x+25 (4x+1)2=16x2+8x+1
4x2+20x+24-8x=16x2+8x = 4x2+12x+24=16x2= -12x2+12x+24=0
= -12+122-4(-12).242.(-12)=-1

-12-122-4(-12).242.(-12)=2

x=-1 e x=-2

e)Para que valores de k a função $f(x)={log}_{2k+4}{}^{x}$ é decrescente?

0<2k+4<1 (??? fiquei com dúvida nesta questão)

por **Gebe** » Sex Mar 16, 2018 04:06

Antes de começar, como dica, sempre ajuda (pra mim pelo menos) colocar um "x" no outro lado da igualdade para resolver o logaritmo.
ex.: ${log}_{4}2=?\\{log}_{4}2=x\\ 2=4^x\;->\;perceba\,que\,o\,4\,passa\,pro\,outro\,lado\,e\,o\,x\,fica\,como\,expoente\\2^1=2^{2x}\\1=2x\\x=\frac{1}{2}$
O "x" neste caso é a resposta, é o "?" que estava la em cima.

a) ${log}_{8}\frac{1}{16}\\ {log}_{8}\frac{1}{2^4}\\ \frac{1}{2^4}=8^x\\ 2^{-4}=2^{3x}\\ x=\frac{-4}{3}\\$

b) ${log}_{0,1}1000\\ 1000=0.1^x\\ 10^3=\left(\frac{1}{10} \right)^x\\ 10^3=10^{-x}\\ -x=3\\ x=-3\\$

c) ${log}_{0,1}0,01\\ 0.01=0.1^x\\ \frac{1}{10^2}=\left( \frac{1}{10} \right)^x\\ 10^{-2}=10^{-x}\\ -x=-2\\ x=2\\$

d) ${log}_{3}2x+5={log}_{9}4x+1^2\\ 3^{{log}_{3}2x+5}=3^{{log}_{9}4x+1^2}\\$
Utilizando a troca de base no log de base 9 para base 3, ficamos com ${log}_{9}4x+1^2 = \frac{{log}_{3}4x+1^2}{2}$
Continuando entao
$3^{{log}_{3}2x+5}=3^{\frac{{log}_{3}{\left( 4x+1 \right)}^{2}}{2}}\\ 2x+5=\left({\left( 4x+1 \right)}^{2} \right)^{\frac{1}{2}}\\ 2x+5=4x+1\\ 2x=4\\ x=2\\$

e)Não sei se faltou informação ou foi só confusão, mas caso seja realmente $f(x)={log}_{2k+4}x$ (o "x" estava como expoente na pergunta), então:

Como dito antes o logaritmo pode ser resolvido como

Observando esta ultima equação percebemos que, se "b" (base) é maior que 1, a medida que aumentamos "x" aumentamos também "c", ou seja, a tendencia é de sempre crescer. ex.: ${log}_{2}x$ , se utilizarmos uma calculadora teremos: para x=2, c=1 ; para x=3, c=1.58 ; para x=4, c = 2 ....

Para que o logatimo tenha um comportamento decrescente a base tem de ter um valor fracionario, valores como 1/2 , 5/8 , 3/4 ..., ou seja, entre 0 e 1.
Sendo assim 2k+4 tem de estar no interalo (0,1).

0 < 2k+4 < 1 -> resolvendo temos:

2k+4 > 0
2k > -4
k > -2
ou
2k+4 < 1
k < (1-4)/2
k < -3/2

Logo k está no intervalo (-2,-3/2) , ou seja, entre -2 e -1.5.

Bons estudos.

por **ezidia51** » Sex Mar 16, 2018 15:23

Um super muito obrigado!!!! :y:

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