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[LOGARITMO] QUESTÃO UNEB 2013

[LOGARITMO] QUESTÃO UNEB 2013

Mensagempor brunadultra » Qua Jan 23, 2013 18:17

A magnitude aparente de um astro de brilho B é definida a partir de uma referência Bo por meio
da fórmula ,M=loga\frac{B}{Bo}com a seguinte convenção: “a magnitude aumenta em 5 quando o brilho
é dividido por 100”.
Nessas condições, considerando-se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, pode-se afirmar que a magnitude
aparente da Lua, em que B = 1,2 × {10}^{5} Bo, é igual a:

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brunadultra
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Re: [LOGARITMO] QUESTÃO UNEB 2013

Mensagempor e8group » Qua Jan 23, 2013 19:27

Boa noite , esta informacão “a magnitude aumenta em 5 quando o brilho
é dividido por 100” ... nos permitira obtermos a seguinte relação :

Tomando log_a (B/100 B_0)

M + 5 =  log_a (B/100B_0)

Prosseguindo com este raciocínio ,

(M + 5 ) + 5  = log_a (B/100 \cdot 100 B_0) = log_a(B/B_0 100^{2} )   = log_a(B/10^{4}B_0)

Repetindo este processo sucessivas vezes , obtém-se M + 5\cdot n =  log_a (B/10^{2n}B_0 ) para n = 1 ,2,3,4 ,\hdots .

Propriedades :

log_a (b c )  = log_a(b) + log_a (c ) (1)

log_a (b^n) = n \cdot log_a (b) (2)

log_a(b) = \frac{log_k(b)}{log_k (a) } (3)

cabe a você determinar as condições sobre a ,b , n, k para existências das propriedades acima (fica como exercício )

Lembrando que , M + 5 =  log_a (B/100B_0) = log_a (B/10 ^2 B_0 ) .

Usando a propriedade (1) e logo em seguida a (2) ,

M + 5 =  log_a (B/ B_0 ) +  log_a (1/10^2) .


Ora , se log_a (B/ B_0 ) = M , então :

M + 5  = M  + log_a (1/10^2) \implies  5 = log_a (1/100) .

Pela definição do logaritmo , a^5 = 1/100 = 10^{-2} ou seja , a  = 10^{-2/5} .

Assim ,

M = log_{10^{-2/5}} (B/B_0) que devido a propriedade (3) e (2) (por favor faça as contas ! ) , M =  \frac{-5}{2} log(B/B_0 )


Sendo assim ,quando B = 1,2\cdot 10^{4} B_0 , teremos M = \frac{-5}{2} log(1,2\cdot 10^{4}B_0/B_0 ) = \frac{-5}{2} log(1,2\cdot 10^{4})


Basta utilizar as propriedades citadas acima , tente concluir .
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Re: [LOGARITMO] QUESTÃO UNEB 2013

Mensagempor brunadultra » Qua Jan 23, 2013 20:47

Obrigada! =)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}