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[equação exponencial] aplicação de logaritmos

[equação exponencial] aplicação de logaritmos

Mensagempor Zeh Edu » Sex Nov 09, 2012 05:49

Bom dia!
O valor da soma das raízes da equação 2^{2x-2} - 17*2^{x-3} + 1 = 0 é:
a)-2 b)-1 c)0 d)1 e)2

Segui o seguinte raciocínio, mas não consegui chegar em nada:

2^{2x-2} = 17*2^{x-3} -1 \Rightarrow log_{2}(17*2^{x-3}-1) = 2x-2

e

2^{x-3} = \frac{2^{2x-2}+1}{17} \Rightarrow log_{2}(\frac{2^{2x-2}+1}{17}) = x-3

Substituir os valores acima pra 2x-2 e x-3 na equação original leva a uma equação ainda mais complicada.
Isolar os x nas duas equações acima e igualar as equações encontradas leva a: (\frac{2^{2x-2}+1}{17})^2 * 2^4 = 17*2^{x-3}-1

Pela falta de alternativas creio que ou meu raciocínio original não seja útil ou os passos após eles estão incorretos.
Muito grato a quem puder ajudar.
Zeh Edu
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Re: [equação exponencial] aplicação de logaritmos

Mensagempor MarceloFantini » Sex Nov 09, 2012 06:47

Multiplique tudo por 2^3, então a equação torna-se 2^{2x+1} -17 \cdot 2^x +8=0. Faça agora a substituição t = 2^x, de onde segue 2^{2x+1} - 17 \cdot 2^x + 8 = 2t^2 -17t +8=0. Resolva e volta para variável original, lembrando que deve-se obedecer à restrição t >0.
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Re: [equação exponencial] aplicação de logaritmos

Mensagempor Zeh Edu » Sex Nov 09, 2012 08:54

Marcelo Fantini, muito obrigado pela ajuda!!
Resolvendo a equação 2t^{2}-17t+8=0 chega se em t=1/2 e t=8
Substituindo esses valores em t=2^{x} encontra se que x=-1 ou x=3, cuja soma é 2.

Compliquei muito mais do que devia :-P . Perceber a presença de 2^{x} nos dois primeiros termos da equação original foi decisivo! De novo, obrigado.
Zeh Edu
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.