Exponenciais

por **Souo** » Ter Jun 30, 2015 01:42

A soma das raizes da equaç?o $10^{2x} - 4.10^{x} + 3 = 0$ é:

A) 4
B) 1 + log3
C) log2 + log3
D) log5
E) log3

N?o consegui chegar no resultado, alguem pode me ajudar?

por **nakagumahissao** » Qui Jul 02, 2015 10:37

$10^{2x} - 4.10^{x} + 3 = 0$

Pelas propriedades da potenciação, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

[1] $\left(10^{x} \right)^2 - 4.10^{x} + 3 = 0$

Agora, podemos fazer a seguinte substituição:

[2] $y = 10^{x}$

Substituindo [2] em [1], tem-se que:

y^2 - 4y + 3 = 0

$\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 12 = 4$

$y = \frac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2}$

y = 3

e

Utilizando estes valores obtidos em [1] acima, tem-se que

a) Para y = 3:

$y = 3 = 10^{x} \Leftrightarrow \log {3} = \log {10^{x}} \Leftrightarrow \log {3} = x\log {10} \Leftrightarrow x= \log {3}$

e

b) Para y = 1:

$y = 1 = 10^{x} \Leftrightarrow \log {1} = \log {10^{x}} \Leftrightarrow \log {1} = x\log {10} \Leftrightarrow x= 0$

PORTANTO, a soma das raízes da equação dada será: 1 + log(3), ou seja, a resposta é a letra (B)

por **Souo** » Qui Jul 02, 2015 22:53

nakagumahissao escreveu: $10^{2x} - 4.10^{x} + 3 = 0$

Pelas propriedades da potenciação, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

[1] $\left(10^{x} \right)^2 - 4.10^{x} + 3 = 0$

Agora, podemos fazer a seguinte substituição:

[2] $y = 10^{x}$

Substituindo [2] em [1], tem-se que:

$\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 12 = 4$

$y = \frac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2}$

e

Utilizando estes valores obtidos em [1] acima, tem-se que

a) Para y = 3:

$y = 3 = 10^{x} \Leftrightarrow \log {3} = \log {10^{x}} \Leftrightarrow \log {3} = x\log {10} \Leftrightarrow x= \log {3}$

e

b) Para y = 1:

$y = 1 = 10^{x} \Leftrightarrow \log {1} = \log {10^{x}} \Leftrightarrow \log {1} = x\log {10} \Leftrightarrow x= 0$

PORTANTO, a soma das raízes da equação dada será: 1 + log(3), ou seja, a resposta é a letra (B)