[Logaritmo]

por **thamysoares** » Qui Nov 15, 2012 14:51

Tá certo?
${log}_{2}(x-1)-{log}_{4}(6+2x)\leq0$
Mudando o segundo termo de base eu fiz:
${log}_{2}(x-1)-\frac{{log}_{2}(6+2x)}{2}\leq0$
Que fica:
${log}_{2}{(x+1)}^{2}-{log}_{2}(6+2x)\leq0$
${log}_{2}\frac{{(x-1)}^{2}}{6+2x}\leq0$
$\frac{{x}^{2}+1}{6+2x}-1\leq0$
$\frac{{x}^{2}-2x-5}{6+2x}\leq0$

por **e8group** » Qui Nov 15, 2012 16:20

Estar quase certo , você cometeu um erro assumindo que o logaritmando é menor ou igual a zero , isto não é verdade .O que é verdade que o logaritmo neste contexto é menor ou igual a zero . Diante disso você deve analisar o intervalo para o logaritmando para a qual uma função função logarítmica é menor ou igual a zero .

Em Geral , $log(x) \geq 0$ se $x \geq 1$ e $log(x) \leq 0$ se $0 < x \leq 1$

Tente aplicar este conceito a este exercício .

Talvez analisar o comportamento da função exponencial é mais fácil , e lembrando que a função logartimica é a inversa da exponencial .

Perceba que $x \in (0 , 1 )$ , log(x)

é sempre menor que zero . Basta pegar valores testes , como por exemplo , 1/2 , 1/4 , 1/9 , 5/6 ,

e por aí vai .

Veja , $log(1/2) = log(2^{-1} ) = - log(2) < 0$ .De fato log(2) > 0

mas como temos

multiplicando o mesmo , logo concluímos que log(1/2) = - log(2) < 0

.

No mais você acertou , você omitiu o 2 no denominador . Mas tudo bem , como o denominador é fixo e maior que zero . O quociente será menor ou igual a zero se e somente se o numerador é menor ou igual a zero .

Se tiver dúvidas post algo .

por **SCHOOLGIRL+T** » Qui Nov 15, 2012 18:01

santhiago escreveu:Estar quase certo , você cometeu um erro assumindo que o logaritmando é menor ou igual a zero , isto não é verdade .O que é verdade que o logaritmo neste contexto é menor ou igual a zero . Diante disso você deve analisar o intervalo para o logaritmando para a qual uma função função logarítmica é menor ou igual a zero .

Em Geral , $log(x) \geq 0$ se $x \geq 1$ e $log(x) \leq 0$ se $0 < x \leq 1$

Tente aplicar este conceito a este exercício .

Talvez analisar o comportamento da função exponencial é mais fácil , e lembrando que a função logartimica é a inversa da exponencial .

Perceba que $x \in (0 , 1 )$ , é sempre menor que zero . Basta pegar valores testes , como por exemplo , e por aí vai .

Veja , $log(1/2) = log(2^{-1} ) = - log(2) < 0$ .De fato mas como temos multiplicando o mesmo , logo concluímos que .

No mais você acertou , você omitiu o 2 no denominador . Mas tudo bem , como o denominador é fixo e maior que zero . O quociente será menor ou igual a zero se e somente se o numerador é menor ou igual a zero .

Se tiver dúvidas post algo .

A minha dúvida é porque o delta da equação quadrática é 24 e não tem raiz exata. Se eu não sei as raízes não tem como estudar o sinal e consequentemente determinar o conjunto solução. O que eu faço?
Ah, desculpe pela intromissão, mas estou aproveitando as perguntas que outras pessoas fizeram e praticando logaritmos rsrs

por **e8group** » Qui Nov 15, 2012 19:37

Devemos determinar a solução para

tal que $log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6) \leq 0$ .

$log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6) = log_2 (x-1) - \frac{ log_2 (2x+6) }{ log_2 (4 ) } = \frac{ 2 \cdot log_2 (x-1) - log_2 (2x +6 ) }{2} = \frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) \leq 0$

Caso 1 :

$\frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) = 0$

Como sabemos , $\frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) = 0 \iff \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } = 1$

Que nos leva , $(x-1)^2 = 2x + 6 \implies x^2 - 2x + 1 - 2x - 6 = 0 = x^2 - 4x - 5 = 0 = (x +1)(x - 5) = 0 \implies x = \begin{cases} x_1 = - 1 \\ x_2 = 5 \end{cases}$ .

Neste caso único valor que satisfaz é

.

Observe , log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6)

. Caso assumirmos x = - 1

estamos entrando em contradição com a definição .

Caso 2 :

$\frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) < 0$

Agora temos que resolver ,

$1 > \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } > 0$

Mas como sabemos que , $\frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } = 1$ quando x = 5

, ou seja $1 > \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }$ quando x < 5

.

Agora vamos resolver a outra inequação , $\frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } > 0$ .

Perceba que , log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6)

estar somente definido apenas para valores maiores que

. Para quaisquer $5 > x > 1 , \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } > 0$ .

Portanto através dos casos 1 e 2 , concluímos que $log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6) \leq 0$ quando $x \in (1,5 ]$ .

Faça o teste , atribua valores a

pertencentes a (1, 5]

Solução ,

$S = \left\{ x \in \mathbb{R} | 1 < x \leq 5\}\right$ .

por **SCHOOLGIRL+T** » Qui Nov 15, 2012 20:20

santhiago escreveu:Devemos determinar a solução para tal que $log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6) \leq 0$ .

$log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6) = log_2 (x-1) - \frac{ log_2 (2x+6) }{ log_2 (4 ) } = \frac{ 2 \cdot log_2 (x-1) - log_2 (2x +6 ) }{2} = \frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) \leq 0$

Caso 1 :

$\frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) = 0$

Como sabemos , $\frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) = 0 \iff \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } = 1$

Que nos leva , $(x-1)^2 = 2x + 6 \implies x^2 - 2x + 1 - 2x - 6 = 0 = x^2 - 4x - 5 = 0 = (x +1)(x - 5) = 0 \implies x = \begin{cases} x_1 = - 1 \\ x_2 = 5 \end{cases}$ .

Neste caso único valor que satisfaz é .

Observe , . Caso assumirmos estamos entrando em contradição com a definição .

Caso 2 :

$\frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) < 0$

Agora temos que resolver ,

$1 > \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } > 0$

Mas como sabemos que , $\frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } = 1$ quando , ou seja $1 > \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }$ quando .

Agora vamos resolver a outra inequação , $\frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } > 0$ .

Perceba que , estar somente definido apenas para valores maiores que . Para quaisquer $5 > x > 1 , \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } > 0$ .

Portanto através dos casos 1 e 2 , concluímos que $log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6) \leq 0$ quando $x \in (1,5 ]$ .

Faça o teste , atribua valores a pertencentes a

Solução ,

$S = \left\{ x \in \mathbb{R} | 1 < x \leq 5\}\right$ .

Sua resposta foi perfeita! Muito obrigada! Desculpe pelo seu tempo tomado, mas, só me explica essa passagem? Please?
$\frac{2{log}_{2}(x-1)-{log}_{2}(2x+6)}{2}$
$\frac{1}{2}{log}_{2}\left(\frac{{(x-1)}^{2}}{2x+6} \right)$
Porque ficou 1/2 multiplicando o logaritmo?

por **e8group** » Qui Nov 15, 2012 20:39

OK. no problem !

Através da mudança de base , ficamos com , $log_2 (x-1 ) - \frac{log_2(2x +6)}{2}$ . Multiplicando o denominador e numerador por

, não estamos alterando o resultado estamos multiplicando por

.

Veja como fica ,

$\left( log_2 (x-1 ) - \frac{log_2(2x +6)}{2}\right ) \cdot \frac{2}{2}$ .

Aplicando a distributiva com o elemento

, fica ,

$\left [ \left( log_2 (x-1 ) - \frac{log_2(2x +6)}{2}\right ) \cdot 2 \right] \cdot \frac{1}{2}$

$\left(2 \cdot log_2 (x-1 ) - \cancel{ 2}\cdot \frac{log_2(2x +6)}{\cancel{2}}\right ) \cdot \frac{1}{2}\right )$

$\left( log_2 (x-1 ) ^2 - log_2(2x +6) \right ) \cdot \frac{1}{2}\right )$

$\left( \frac{ log_2 (x-1 )^2 }{2x+6}\right ) \cdot \frac{1}{2}$

Ficou claro ?

Editado: Erro no texto .

por **SCHOOLGIRL+T** » Qui Nov 15, 2012 21:07

santhiago escreveu:OK. no problem !

Através da mudança de base , ficamos com , $log_2 (x-1 ) - \frac{log_2(2x +6)}{2}$ . Multiplicando o denominador e numerador por , não estamos alterando o resultado estamos multiplicando por .

Veja como fica ,

$\left( log_2 (x-1 ) - \frac{log_2(2x +6)}{2}\right ) \cdot \frac{2}{2}$ .

Aplicando a distributiva com o elemento , fica ,

$\left [ \left( log_2 (x-1 ) - \frac{log_2(2x +6)}{2}\right ) \cdot 2 \right] \cdot \frac{1}{2}$

$\left(2 \cdot log_2 (x-1 ) - \cancel{ 2}\cdot \frac{log_2(2x +6)}{\cancel{2}}\right ) \cdot \frac{1}{2}\right )$

$\left( log_2 (x-1 ) ^2 - log_2(2x +6) \right ) \cdot \frac{1}{2}\right )$

$\left( \frac{ log_2 (x-1 )^2 }{2x+6}\right ) \cdot \frac{1}{2}$

Ficou claro ?

Editado: Erro no texto .

Uau! Esclarecidíssimo! Mto obrigada mesmo!

por **thamysoares** » Sex Nov 16, 2012 15:46

santhiago escreveu:Devemos determinar a solução para tal que $log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6) \leq 0$ .

$log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6) = log_2 (x-1) - \frac{ log_2 (2x+6) }{ log_2 (4 ) } = \frac{ 2 \cdot log_2 (x-1) - log_2 (2x +6 ) }{2} = \frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) \leq 0$

Caso 1 :

$\frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) = 0$

Como sabemos , $\frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) = 0 \iff \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } = 1$

Que nos leva , $(x-1)^2 = 2x + 6 \implies x^2 - 2x + 1 - 2x - 6 = 0 = x^2 - 4x - 5 = 0 = (x +1)(x - 5) = 0 \implies x = \begin{cases} x_1 = - 1 \\ x_2 = 5 \end{cases}$ .

Neste caso único valor que satisfaz é .

Observe , . Caso assumirmos estamos entrando em contradição com a definição .

Caso 2 :

$\frac{1}{2} log_2 \left( \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }\right) < 0$

Agora temos que resolver ,

$1 > \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } > 0$

Mas como sabemos que , $\frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } = 1$ quando , ou seja $1 > \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 }$ quando .

Agora vamos resolver a outra inequação , $\frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } > 0$ .

Perceba que , estar somente definido apenas para valores maiores que . Para quaisquer $5 > x > 1 , \frac{(x-1)^2 }{2x + 6 } > 0$ .

Portanto através dos casos 1 e 2 , concluímos que $log_2 (x-1) - log_4 (2x + 6) \leq 0$ quando $x \in (1,5 ]$ .

Faça o teste , atribua valores a pertencentes a

Solução ,

$S = \left\{ x \in \mathbb{R} | 1 < x \leq 5\}\right$ .

Muitíssimo obrigada! =D

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