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[Vértice de uma Parábola]

[Vértice de uma Parábola]

Mensagempor gustavowelp » Qui Ago 16, 2012 00:28

Boa noite

Não sei como resolver esta questão. Sei as fórmulas do vértice mas não sei como chegar à resposta...

Determine o valor de m sabendo que m é ordenada de uma parábola com vértice no ponto de coordenadas (2,0) e que também passa pelos pontos de coordenadas (6,
16) e (–1, m)

A resposta é 9.

Obrigado
gustavowelp
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Re: [Vértice de uma Parábola]

Mensagempor LuizAquino » Qui Ago 16, 2012 11:19

gustavowelp escreveu:Determine o valor de m sabendo que m é ordenada de uma parábola com vértice no ponto de coordenadas (2,0) e que também passa pelos pontos de coordenadas (6,
16) e (–1, m)

A resposta é 9.


gustavowelp escreveu:Não sei como resolver esta questão. Sei as fórmulas do vértice mas não sei como chegar à resposta...


Uma forma de escrever a equação de uma parábola é a seguinte:

y = a(x - x_v)^2 + y_v

Já que o vértice da parábola é (2, 0) (e portanto xv = 2 e yv = 0), temos que:

y = a(x - 2)^2

Falta apenas determinar o valor do coeficiente a. Para isso, vamos usar o ponto (6, 16) que foi dado.

16 = a(6 - 2)^2 \implies 16 = 16a \implies a = 1

Podemos concluir então que a parábola tem equação y = (x - 2)^2 .

Agora tente concluir o exercício.

Observação

Eu recomendo que você leia o tópico:

Re: Descobrindo a Expressão Algébrica olhando apenas o gráfico
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Re: [Vértice de uma Parábola]

Mensagempor Russman » Qui Ago 16, 2012 18:51

De uma outra forma.

A equação geral da parábola é a seguinte: y(x) = ax^2 +bx+c.

O valor x do vértice é dado por : y'(x)=0\Rightarrow 2ax+b=0\Rightarrow x_V=\frac{-b}{2a}. Assim,

x_V=2\Rightarrow \frac{-b}{2a}=2\Rightarrow b=-4a.

O valor y do vértice é dado por: y_V=y\left ( \frac{-b}{2a}  \right ) = \frac{-b^2+4ac}{4a}=0\Rightarrow b^2=4ac.

Unindo as informações, temos

\left\{\begin{matrix}
b^2=4ac\\ 
b=-4a
\end{matrix}\right.\Rightarrow (-4a)^2=4ac\Rightarrow 16a^2=4ac\Rightarrow c=4a.

Unindo essas informações com o ponto (6,16), então

16=a.6^2+b.6+c\Rightarrow 16=36a-4.a.6+4a\Rightarrow 16=16a\Rightarrow a=1

de onde, b=-4 e c=4.

Assim, a parábola é y = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.

Se o ponto (-1,m) pertence a ela, então m é tal que

m=(-1-2)^2 = (-3)^2 = 9.
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Re: [Vértice de uma Parábola]

Mensagempor gustavowelp » Sex Ago 17, 2012 10:26

Muitíssimo obrigado.

Nem sei como agradecer!!!!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}