Transformada de Laplace

por **Russman** » Sex Mai 04, 2012 01:13

Seja $\mathbb{L}$ o operador Transformada de Laplace, isto é, $\mathbb{L}\left \{ f(t) \right \} = \int_{0}^{\infty }f(t){e}^{-st}dt = F(s)$ .

Gostaria de obter uma identidade para a seguinte Transformada: $\mathbb{L}\left \{ f(t-a) \right \}$ . Isto é, qual a relação da transformada da f(t)

para com a mesma função mas linearmente deslocada?

Eu conheço a propriedade $\mathbb{L}\left \{ f(t-a)u(t-a) \right \} ={e}^{-st}\mathbb{L}\left \{ f(t) \right \}$ , onde u(t-a)

é a Função de Heaviside.

Mas e se a função f(t-a)

não estiver multiplicada por u(t-a)

?

por **LuizAquino** » Sex Mai 04, 2012 11:35

Russman escreveu:Seja $\mathbb{L}$ o operador Transformada de Laplace, isto é, $\mathbb{L}\left \{ f(t) \right \} = \int_{0}^{\infty }f(t){e}^{-st}dt = F(s)$ .

Gostaria de obter uma identidade para a seguinte Transformada: $\mathbb{L}\left \{ f(t-a) \right \}$ . Isto é, qual a relação da transformada da para com a mesma função mas linearmente deslocada?

Eu conheço a propriedade $\mathbb{L}\left \{ f(t-a)u(t-a) \right \} ={e}^{-st}\mathbb{L}\left \{ f(t) \right \}$ , onde é a Função de Heaviside.

Mas e se a função não estiver multiplicada por ?

Basta calcular a transformada de Laplace para f(t - a). Vide, por exemplo, a página abaixo.

Teoremas simples da Transformada de Laplace
http://w3.ualg.pt/~sjesus/aulas/ac/node32.html

por **pvgomes07** » Sex Ago 10, 2012 13:11

Só você usar a definição da Transformada e substituir f(t) por f(t-a)

.

Lembrando que os limites de integração vão de ${-\infty}$ a ${+\infty}$

Aí você faz uma substituição no argumento de f(t-a)

:

logo

, onde vc vai substituir no expoente do termo $e^{-st}$ :

que vai ficar
$e^{-s(u+a)}$

Separa em dois termos exponenciais e tira o $e^{-sa}$ da integral.
A única diferença é que a integração vai ser de ${-\infty} a {+\infty}$ .
Ou seja, é uma transformada bilateral.. :S

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