Raízes da equação

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Raízes da equação

Mensagempor Andreza » Seg Nov 14, 2011 14:47

Uma das raízes da equação {x}^{4}-{4x}^{3}+6{x}^{2}-4x=0
é (1+bi), onde i é uma unidade imaginária e b é um número real. Quais são as raízes dessa equação?

Como eu faço para calcular as raízes de uma equação do 4º Grau?
Obrigada.
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Re: Raízes da equação

Mensagempor MarceloFantini » Seg Nov 14, 2011 19:19

Se 1+bi é raíz da equação, então sabemos também que [ex]1-bi[/tex] também é raíz. Podemos colocar x em evidência no polinômio, logo zero também é raíz. Assim, podemos simplificar o polinômio como x^3 -4x^2+6x-4=0, que pode ser fatorado como (x-a)(x-(1+bi))(x-(1-bi)), onde a é a raíz que queremos encontrar. Tente terminar agora.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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