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(UFPA) Vértice da Parábola

(UFPA) Vértice da Parábola

Mensagempor Abelardo » Seg Jun 06, 2011 19:25

Por ocasião da inauguração de um edifício, um promotr de eventos decidiu fazer uso simultâneo das projeções de um jato de água e de um canhão de luz efetuadas a partir de um pequeno prédio vizinho, localizado a 18 metros do edifício novo. O jato será lançado a partir do teto do pequeno prédio ( a 9 metros de altura) e, após executar sua trajetória parabólica, atingirá a base do prédio novo. O canhão de luz, por sua vez, será disparado a partir do chão, da base do pequeno prédio. Seu feixe de luz atravessará exatamente o vértice da ''parábola da água'' e atingirá o topo do novo edifício, que se encontra a 36 metros de altura. A que altura, a partir do solo, o jato de água e o feixe de luz se encontrarão?

Imagem




O que fiz: Interpretei a figura como um plano cartesiano. A origem do sistema ficou exatamente no local onde fica o canhão de luz. O feixe de luz descreve uma trajetória retilínea [ f(x) = ax+b ] e o jato de água descreve uma parábola [f(x) = ax²+bx+c]. Encontrei a função do feixe de luz, mas na função da parábola não consegui encontrar ''a'' e nem ''b''. Tentei usar as relações entre raízes e coeficientes misturado com as coordenadas do vértice da parábola, mas não consegui... ajuda!!
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Abelardo
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Re: (UFPA) Vértice da Parábola

Mensagempor Rodrigo Costa » Qua Set 05, 2012 18:49

Temos duas funções: A parábola do jato de água e a reta do canhão de luz.

Parabola: y1 = ax^2 + bx + c
Reta: y2 = dx + e

Considerando a origem do sistema no chão do prédio menor, podemos afirmar que a reta passa pelo ponto (0,0), pois o feixe sai da base do prédio menor e pelo ponto (18,36), pois o feixe bate no topo do prédio maior. Substituindo os pontos na equação da reta:
1) 0 = d.(0) + e
2) 36 = d(18) + e

Resolvendo o sistema, temos:
d = 2
e = 0
Portanto a reta possui equação:
y2 = 2x

O jato de água sai do topo do prédio menor (0,9) e cai no chão do prédio maior (18,0). Portanto esses dois pontos podem ser utilizados na equação da parábola:
1) a.(0)^2 + b.(0) + c = 9
2) a.(18)^2 + b.(18) + c = 0

Da equação 1), temos que c = 9. Substituindo o valor de c na equação 2), temos:
324a + 18b + 9 = 0
a = -(9+18b)/324

As coordendas do vértice em função dos coeficientes da equação da parábola são:
xv = -b/2a
yv = -(b^2 - 4ac)/4a

Como o problema diz que a reta passa pelo vértice da parábola, significa que as coordenadas do vértice satisfazem a equação da reta. Portando, substituindo xv e yv na equação da reta:

y2 = 2x
yv = 2.xv
-(b^2 - 4ac)/4a = 2.(-b/2a)
-(b^2 - 4ac)/4 = -b
(b^2 - 4ac)/4 = b
b^2 - 4b - 4ac = 0

Agora substituímos o valor de "c" e "a" encontrados acima nesta equação:
b^2 - 4b - 4.(-(9+18b)/324).(9) = 0
b^2 - 4b +36.[(9+18b)/324] = 0
b^2 - 4b +[(9+18b)/9] = 0
9b^2 - 36b + 9 + 18b = 0
9b^2 - 18b + 9 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau em "b", temos:
b1 = b2 = +1

Portanto b = 1

Agora, substituímos o valor de "b" em "a":
a = -(9+18b)/324
a = -(9 + 18.1)/324
a = -1/12

O problema pede a altura em que a água e a luz se encontram. Portanto, queremos saber o valor de y no ponto do vértice (yv):
yv = -(b^2 - 4ac)/4a
yv = -(1^1 - 4.(-1/12).(9)) / (4.(-1/12))
yv = (1+3)/(1/3)
yv = 4.3
yv = 12 metros
Espero que tenha ajudado!
Rodrigo Costa
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)