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por Abelardo » Seg Jun 06, 2011 19:25
Por ocasião da inauguração de um edifício, um promotr de eventos decidiu fazer uso simultâneo das projeções de um jato de água e de um canhão de luz efetuadas a partir de um pequeno prédio vizinho, localizado a 18 metros do edifício novo. O jato será lançado a partir do teto do pequeno prédio ( a 9 metros de altura) e, após executar sua trajetória parabólica, atingirá a base do prédio novo. O canhão de luz, por sua vez, será disparado a partir do chão, da base do pequeno prédio. Seu feixe de luz atravessará exatamente o vértice da ''parábola da água'' e atingirá o topo do novo edifício, que se encontra a 36 metros de altura. A que altura, a partir do solo, o jato de água e o feixe de luz se encontrarão?
O que fiz: Interpretei a figura como um plano cartesiano. A origem do sistema ficou exatamente no local onde fica o canhão de luz. O feixe de luz descreve uma trajetória retilínea [ f(x) = ax+b ] e o jato de água descreve uma parábola [f(x) = ax²+bx+c]. Encontrei a função do feixe de luz, mas na função da parábola não consegui encontrar ''a'' e nem ''b''. Tentei usar as relações entre raízes e coeficientes misturado com as coordenadas do vértice da parábola, mas não consegui... ajuda!!
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Abelardo
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por Rodrigo Costa » Qua Set 05, 2012 18:49
Temos duas funções: A parábola do jato de água e a reta do canhão de luz.
Parabola: y1 = ax^2 + bx + c
Reta: y2 = dx + e
Considerando a origem do sistema no chão do prédio menor, podemos afirmar que a reta passa pelo ponto (0,0), pois o feixe sai da base do prédio menor e pelo ponto (18,36), pois o feixe bate no topo do prédio maior. Substituindo os pontos na equação da reta:
1) 0 = d.(0) + e
2) 36 = d(18) + e
Resolvendo o sistema, temos:
d = 2
e = 0
Portanto a reta possui equação:
y2 = 2x
O jato de água sai do topo do prédio menor (0,9) e cai no chão do prédio maior (18,0). Portanto esses dois pontos podem ser utilizados na equação da parábola:
1) a.(0)^2 + b.(0) + c = 9
2) a.(18)^2 + b.(18) + c = 0
Da equação 1), temos que c = 9. Substituindo o valor de c na equação 2), temos:
324a + 18b + 9 = 0
a = -(9+18b)/324
As coordendas do vértice em função dos coeficientes da equação da parábola são:
xv = -b/2a
yv = -(b^2 - 4ac)/4a
Como o problema diz que a reta passa pelo vértice da parábola, significa que as coordenadas do vértice satisfazem a equação da reta. Portando, substituindo xv e yv na equação da reta:
y2 = 2x
yv = 2.xv
-(b^2 - 4ac)/4a = 2.(-b/2a)
-(b^2 - 4ac)/4 = -b
(b^2 - 4ac)/4 = b
b^2 - 4b - 4ac = 0
Agora substituímos o valor de "c" e "a" encontrados acima nesta equação:
b^2 - 4b - 4.(-(9+18b)/324).(9) = 0
b^2 - 4b +36.[(9+18b)/324] = 0
b^2 - 4b +[(9+18b)/9] = 0
9b^2 - 36b + 9 + 18b = 0
9b^2 - 18b + 9 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau em "b", temos:
b1 = b2 = +1
Portanto b = 1
Agora, substituímos o valor de "b" em "a":
a = -(9+18b)/324
a = -(9 + 18.1)/324
a = -1/12
O problema pede a altura em que a água e a luz se encontram. Portanto, queremos saber o valor de y no ponto do vértice (yv):
yv = -(b^2 - 4ac)/4a
yv = -(1^1 - 4.(-1/12).(9)) / (4.(-1/12))
yv = (1+3)/(1/3)
yv = 4.3
yv = 12 metros
Espero que tenha ajudado!
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Rodrigo Costa
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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