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por Abelardo » Seg Jun 06, 2011 19:25
Por ocasião da inauguração de um edifício, um promotr de eventos decidiu fazer uso simultâneo das projeções de um jato de água e de um canhão de luz efetuadas a partir de um pequeno prédio vizinho, localizado a 18 metros do edifício novo. O jato será lançado a partir do teto do pequeno prédio ( a 9 metros de altura) e, após executar sua trajetória parabólica, atingirá a base do prédio novo. O canhão de luz, por sua vez, será disparado a partir do chão, da base do pequeno prédio. Seu feixe de luz atravessará exatamente o vértice da ''parábola da água'' e atingirá o topo do novo edifício, que se encontra a 36 metros de altura. A que altura, a partir do solo, o jato de água e o feixe de luz se encontrarão?
O que fiz: Interpretei a figura como um plano cartesiano. A origem do sistema ficou exatamente no local onde fica o canhão de luz. O feixe de luz descreve uma trajetória retilínea [ f(x) = ax+b ] e o jato de água descreve uma parábola [f(x) = ax²+bx+c]. Encontrei a função do feixe de luz, mas na função da parábola não consegui encontrar ''a'' e nem ''b''. Tentei usar as relações entre raízes e coeficientes misturado com as coordenadas do vértice da parábola, mas não consegui... ajuda!!
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Abelardo
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por Rodrigo Costa » Qua Set 05, 2012 18:49
Temos duas funções: A parábola do jato de água e a reta do canhão de luz.
Parabola: y1 = ax^2 + bx + c
Reta: y2 = dx + e
Considerando a origem do sistema no chão do prédio menor, podemos afirmar que a reta passa pelo ponto (0,0), pois o feixe sai da base do prédio menor e pelo ponto (18,36), pois o feixe bate no topo do prédio maior. Substituindo os pontos na equação da reta:
1) 0 = d.(0) + e
2) 36 = d(18) + e
Resolvendo o sistema, temos:
d = 2
e = 0
Portanto a reta possui equação:
y2 = 2x
O jato de água sai do topo do prédio menor (0,9) e cai no chão do prédio maior (18,0). Portanto esses dois pontos podem ser utilizados na equação da parábola:
1) a.(0)^2 + b.(0) + c = 9
2) a.(18)^2 + b.(18) + c = 0
Da equação 1), temos que c = 9. Substituindo o valor de c na equação 2), temos:
324a + 18b + 9 = 0
a = -(9+18b)/324
As coordendas do vértice em função dos coeficientes da equação da parábola são:
xv = -b/2a
yv = -(b^2 - 4ac)/4a
Como o problema diz que a reta passa pelo vértice da parábola, significa que as coordenadas do vértice satisfazem a equação da reta. Portando, substituindo xv e yv na equação da reta:
y2 = 2x
yv = 2.xv
-(b^2 - 4ac)/4a = 2.(-b/2a)
-(b^2 - 4ac)/4 = -b
(b^2 - 4ac)/4 = b
b^2 - 4b - 4ac = 0
Agora substituímos o valor de "c" e "a" encontrados acima nesta equação:
b^2 - 4b - 4.(-(9+18b)/324).(9) = 0
b^2 - 4b +36.[(9+18b)/324] = 0
b^2 - 4b +[(9+18b)/9] = 0
9b^2 - 36b + 9 + 18b = 0
9b^2 - 18b + 9 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau em "b", temos:
b1 = b2 = +1
Portanto b = 1
Agora, substituímos o valor de "b" em "a":
a = -(9+18b)/324
a = -(9 + 18.1)/324
a = -1/12
O problema pede a altura em que a água e a luz se encontram. Portanto, queremos saber o valor de y no ponto do vértice (yv):
yv = -(b^2 - 4ac)/4a
yv = -(1^1 - 4.(-1/12).(9)) / (4.(-1/12))
yv = (1+3)/(1/3)
yv = 4.3
yv = 12 metros
Espero que tenha ajudado!
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Rodrigo Costa
- Novo Usuário
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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