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Função de segundo grau simples

Função de segundo grau simples

Mensagempor Allanx » Sáb Mar 26, 2011 00:02

Opa pessoal beleza? Comecei a ler a série "Fundamentos da Matemática Elementar". Ainda no primeiro volume estou tendo problemas com o exercicio A177 letra J que é o seguinte f(x) = x^2 +(1-\sqrt3) - \sqrt3, enquanto calculava o delta cheguei nisso:
\Delta = (1-\sqrt3)^2 - 4.1.(-\sqrt3) = 1-2\sqrt3+3 +4\sqrt3 = 4+2\sqrt3
isso me pareceu bem estranho, imaginei que o delta não possuiria nenhuma raiz quadrada, a equação toda ficaria assim:
f(x) =\frac{-1+\sqrt3 \pm \sqrt {4+2\sqrt3}}2
Os resultados seriam x = -1 e x = \sqrt3
Acredito ter errado em alguma coisa bem boba, mas não consigo identificá-la. Obrigado pela ajuda.
PS: Primeira vez usando o LaTex então talvez alguma coisa na fórmula não tenha ficado como deveria.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor FilipeCaceres » Sáb Mar 26, 2011 00:36

Para primeira vez esta muito bom =)
Mas sobre a questão, não encontrei nenhum erro. Você so não terminou a solução, pelo jeito ainda nao conhece o tal de radical duplo né?!Mas não se preocupe, vou dar uma palhinha.

Não vou demonstrar, peço que procure por radical duplo.

Seja a e b radicais,tais que
b>0
a\pm \sqrt{b}>0

Desde que c=\sqrt{a^2-b} seja racional,temos:
\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-c}{2}}

OBS.: É importante então observar que a transformação não é possível se \sqrt{a^2-b} não for racional.

Resolvendo a questão temos:
\sqrt{4+2.\sqrt{3}}=\sqrt{4+\sqrt{12}}

Desta forma,
c=\sqrt{4^2-12}=2

Logo,
\sqrt{4+2.\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4+2}{2}}+\sqrt{\frac{4-4}{2}}
\sqrt{4+2.\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1

Portanto,
x_{1,2} =\frac{(-1+\sqrt3) \pm \sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2}=\frac{(-1+\sqrt3) \pm (1+\sqrt{3})}{2}

x_1=\frac{-1+\sqrt{3}+1+\sqrt{3}}{2}
x_1=\sqrt{3}

x_2=\frac{-1+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}}{2}
x_2=-1

Espero ter ajudado.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Mar 26, 2011 01:45

Também nunca usei radical duplo. Onde aprendeu isso?

Para resolver, talvez soma e produto ajudassem sem precisar do radical duplo. Que números quando somados dão \sqrt{3} -1 e multiplicados - \sqrt{3}? Fica um tanto quanto nítido. Não sei ele já ensinou isso, portanto talvez desconsidere. O caso é que eu acho que esse método pelo tal "radical duplo" é usar um canhão para matar uma formiga. Acho específico demais (pessoalmente nunca vi isso em nenhuma prova, vestibular, livro de ensino médio ou matéria da universidade) para ser usado num único problema. Deve existir um outro jeito de visualizar, possivelmente sem ser o meu ou do radical, de forma mais natural e sem uso de tal artifício.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 26, 2011 11:22

Esse é um conteúdo que deve (ou deveria) ser visto ao ensinarmos a resolução de equações do 2º grau no ensino fundamental.

A ideia básica é determinar x e y positivos tais que a+\sqrt{b} = (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2. Desse modo, temos que \sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \sqrt{x}+\sqrt{y} .

Note que determinar esse x e y consiste em resolver o sistema:
\begin{cases}
x+y=a \\
2\sqrt{xy}=\sqrt{b}
\end{cases}

Mas, esse sistema é equivalente a:
\begin{cases}
x+y=a \\
xy=\frac{b}{4}
\end{cases}

Desse modo, queremos determinar dois números cuja a soma seja a e o produto seja b/4. Ou seja, queremos as soluções da equação:
u^2-au+\frac{b}{4}=0

Essa equação só possui soluções reais se \Delta = a^2 - b \geq 0. Nesse caso, as soluções serão: x=\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2} e y=\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}.

Portanto, teremos que:
\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}}

Agora, chamando \sqrt{a^2-b} = c, chegamos na relação:

\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + c}{2}}+\sqrt{\frac{a - c}{2}}

Por fim, note que essa estratégia só é interessante se \sqrt{a^2-b}=c for racional. Se isso fosse irracional, teríamos que \sqrt{a^2-b}=\sqrt{d} para algum d. Daí a simplificação não seria interessante, pois ficaríamos com:
\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{d}}{2}}+\sqrt{\frac{a - \sqrt{d}}{2}}

Vale destacar que no caso particular da equação x^2 +(1-\sqrt{3})x - \sqrt{3} = 0, o caminho mais simples é mesmo analisar a soma e o produto das raízes.

Entretanto, imagine que o exercício fosse resolver a equação x^2-3x - \sqrt{5}=0. Duas raízes para essa equação são x^\prime = \frac{5+\sqrt{5}}{2} e x^{\prime\prime} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}. Note que seria difícil ter chegado nessa solução usando a estratégia de analisar a soma e o produto das raízes. Entretanto, usando a estratégia acima podemos chegar nesse resultado.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Mar 26, 2011 15:28

Acho que é muito trabalho por pouco. Não tem grandes conceitos a serem trabalhados, apenas um método de explicitar raízes. É mais conta do que raciocínio, o que eu sou contra, mas enfim.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 26, 2011 15:42

De fato, há de se fazer muitas contas. Entretanto, é comum repostas assim aparecerem nos gabaritos dos livros, vestibulares e concursos.

Por exemplo, muito provavelmente a equação x^2-3x - \sqrt{5}=0 teria como gabarito x^\prime = \frac{5+\sqrt{5}}{2} e x^{\prime\prime} = \frac{1-\sqrt{5}}{2} e não x^\prime = \frac{3+\sqrt{9+4\sqrt{5}}}{2} e x^{\prime\prime} = \frac{3-\sqrt{9+4\sqrt{5}}}{2}.

Por esse motivo, é necessário saber como operar com \sqrt{9+4\sqrt{5}} para transformá-lo em 2+\sqrt{5}.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Mar 26, 2011 16:05

Raramente eu vi equações com esse tipo de coeficientes. Acho que estão mudando o foco (ótimo) das contas para o raciocínio.
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 26, 2011 16:13

Confie em mim. Elas aparecem com frequência. :-D
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Re: Função de segundo grau simples

Mensagempor Allanx » Dom Mar 27, 2011 00:10

LuizAquino: sua "palhinha" foi o conceito inteiro, bem detalhado MESMO.
Fantini: Realmente, nesse caso ficou bem óbvio, poderia ter resolvido com o que sabia, bobiei.

Agradeço a ambos pela ajuda, da próxima vez ficarei mais atento a propriedades básicas e tenho mais uma fórmula útil, que nunca havia visto, no meu repertório.
Agora sei que posso prosseguir tranquilo com os livros, mas sobrará para vocês que terão que matar muitas dúvidas.
Obrigado.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?