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LIMITES LATERAIS

LIMITES LATERAIS

Mensagempor Fabio Cabral » Qua Out 06, 2010 11:48

Olá, pessoal.
Esse é meu primeiro post nesse fórum. Se eu estiver fazendo alguma coisa errada por favor me avisem, não tive tempo de ler as regras de postagem.
Recebi uma lista com 60 questões que estou tendo dificuldades, mas com a ajuda de vocês, creio que conseguirei tranquilamente.

Eu estou com dúvida no seguinte.
\lim_{x\rightarrow0} \frac{3x}{({x}^{4}-{4x}^{3}+{x}^{2})}

o enunciado diz: Aplicando propriedades de limites e algébricas, calcule cada limite abaixo e avalie sua existência, dizendo se eles existem ou não.

DÚVIDA: Terei que fatorar esse polinômino, correto ? Terei que achar os limites laterais antes ( 0+, 0-) correto ?

pelos meus cálculos \lim_{x\rightarrow0+} = \infty e \lim_{x\rightarrow0-} = -\infty. Isso está correto ?

Att, Fábio Cabral.


ps.: Ingressei neste fórum pois aqui, as pessoas não dão as respostas prontas, mas ensinam ;)
Editado pela última vez por Fabio Cabral em Qua Out 06, 2010 12:24, em um total de 1 vez.
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Re: LIMITES LATERAIS

Mensagempor MarceloFantini » Qua Out 06, 2010 12:19

Olá Fábio, não precisa encontrar as raízes. Veja:

\lim_{x \to 0} \frac{x^4 -4x^3 +x^2}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(x^2 -4x +1)}{3x}

Para x \neq 0:

\lim_{x \to 0} x(x^2 -4x +1) = 0

Isso mostra que dos dois lados o limite existe e é zero.
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Re: LIMITES LATERAIS

Mensagempor Fabio Cabral » Qua Out 06, 2010 12:38

ôpa, já corrigi o tópico.

Amigo, o professor resolvia substituindo o "0" no polinômino.
isso causa uma indeterminação, correto?

A gente tinha que tentar sair dessa indeterminação..
eu não sei explicar corretamente, mas a monitora afirmou que isso era igual a +\infty.

Vou postar aqui o jeito que foi feito pra você analisar:

\lim_{x\rightarrow0} \frac{3x}{({x}^{4}-{4x}^{3}+{x}^{2})} =  \lim_{x\rightarrow0} \frac{3}{({x}^{3}-{4x}^{2}+x)} =\lim_{x\rightarrow0}    \left[3 \right].\left[ \frac{1}{({x}^{3}-{4x}^{2}+x)} \right] = +\infty


Compreendeu?


Abraços
*-)
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Re: LIMITES LATERAIS

Mensagempor MarceloFantini » Qua Out 06, 2010 12:58

Bom, agora que está corrigido então faz sentido que seja infinito. Veja que, quando x se aproxima de 0, o denominador se aproxima de 0. Um denominador muito pequeno gera uma um número muito grande, uma vez que é constante em cima. Para analisar o sinal, agora sim faz sentido fatorar:

\lim_{x \to 0} \frac{3x}{x^4 -4x^3 +x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{x^3 -4x^2 +x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{x(x-2 + \sqrt{3})(x-2 - \sqrt{3})}

Quando x \to 0^-, o produto x(x-2 +\sqrt{3})(x -2 - \sqrt{3}) é negativo, logo \lim = - \infty.

Quando x \to 0^+, o produto x(x-2+\sqrt{3})(x-2-\sqrt{3}) é positivo, logo \lim = +\infty.

Como os limites laterais não coincidem, o limite não existe.
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Re: LIMITES LATERAIS

Mensagempor Fabio Cabral » Qua Out 06, 2010 13:26

Perfeito, Fantini.

Só fiquei com uma dúvida, como você chegou nesse?
\lim_{x \to 0} \frac{3}{x(x-2 + \sqrt{3})(x-2 - \sqrt{3})}

:y:
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Re: LIMITES LATERAIS

Mensagempor MarceloFantini » Qua Out 06, 2010 13:33

Eu calculei as raízes de x^2 -4x +1 e escrevi na forma fatorada.
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Re: LIMITES LATERAIS

Mensagempor Fabio Cabral » Qui Out 07, 2010 11:04

Valeu, Fantini.
To conseguindo fazer algumas. Se tiver mais uma dúvida, perguntarei a você.

Obrigado e até ! ;)
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?