Cálculo do lucro com função do segundo grau

por **chenz** » Qua Jun 02, 2010 10:07

Bom dia, estou com o seguinte problema:
Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado por L(q)=R(q)-C(q), onde L é o lucro total, R a receita total e C o custo total da produção. Pede-se, numa empresa onde:
$R(q)=80q-q^{2}$
e
$C(q)=q^{2}+20q+40$
onde: q é a quantidade produzida. E pergunta-se:
a)o nível de produção q para que o lucro seja máximo; Resposta-> 15
b)o valor do lucro máximo. Resposta-> 410
Preciso de ajuda, pois não consegui chegar a esses valores.

Obrigado!!!

por **Molina** » Ter Jun 08, 2010 00:37

chenz escreveu:Bom dia, estou com o seguinte problema:
Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado por L(q)=R(q)-C(q), onde L é o lucro total, R a receita total e C o custo total da produção. Pede-se, numa empresa onde:
$R(q)=80q-q^{2}$
e
$C(q)=q^{2}+20q+40$
onde: q é a quantidade produzida. E pergunta-se:
a)o nível de produção q para que o lucro seja máximo; Resposta-> 15
b)o valor do lucro máximo. Resposta-> 410
Preciso de ajuda, pois não consegui chegar a esses valores.

Obrigado!!!

Boa noite, Chenz.

Temos duas funções e queremos é usar a função L(q)

, que nada mais é do que:

L(q)=R(q)-C(q)

$L(q)=80q-q^{2}-(q^{2}+20q+40)$

L(q)=-2q^2+60q-40

E temos a função L(q).

Quando se fala em lucro seja máximo o que queremos é achar o

que faz essa função ser maior possível. A ferramenta que nos permite calcular isso é o famoso X_v

(X vértice). Para usar as notações do problema, usaremos Q_v

que é dado pela fórmula:

$Q_v=\frac{-b}{2a}$

Agora é só substituir os valores

e

que estão na função L(q)

que vai dar o valor de

que gera o maior valor de L(q)

.

Para resolver a letra b) basta substituir o valor de q encontrado e substituir na função L(q).

Bom estudo!

por **chenz** » Qua Jun 09, 2010 11:00

Obrigado pela ajuda!!! Era mais fácil que eu pensava...Tinha desenhado as duas curvas e não via a resposta, mas fazendo pelo método algébrico ficou fácil e não havia tentado....Valeu mesmo.
Cristiano Henz