funções com cálculo de coeficientes

por **ezidia51** » Qua Mar 28, 2018 22:54

Fiz estes cálculos mas não sei se estão certos

A função $f(x)=a{x}^{2}+bx+c$ tem vértice no ponto (2,6) e uma raiz no ponto x=5. Determine a expressão de f (ou, em outras palavras, determine os valores dos coeficientes a,b e c .
$ponto 2 =a{2}^{2}+b.2+c=0 ponto 6=a{6}^{2}=b.6+c=0$

ponto 2 =4a+2b+c=0 $\frac{-2+-\sqrt[2]{4.4.c}}{2.4}$ = $\frac{-2+-\sqrt[2]{16c}}{8}$ = $\frac{-2+4c}}{8}$ =c=1 e c=-1
ponto 6=36a+6b+c=0 $\frac{-(+6)+-\sqrt[2]{4.36.c}}{2.36}$ = $\frac{-6+-\sqrt[2]{144c}}{72}$ = $\frac{-6+-\sqrt[2]{{2}^{2}.{2}^{2}.{3}^{2}c}}{72}$ = $\frac{-6+-2.2.3\sqrt[2]{c}}{72}$ = $\frac{-6+-12\sqrt[2]{c}}{72}=\frac{6\sqrt[2]{c}}{72}$ = $c=0,08^{\frac{1}{2}}$ ou c= $c=-0,08^{\frac{1}{2}}$

Sabendo-se que ${x}^{2}-6x+m>0 \forall\in\Re$ , determine m
$\frac{6+-\sqrt[2]{4m}}{2}$ = $\frac{6+-2m}}{2}$ = $\frac{6+2m}{2}=3+2m=m=\frac{-3}{2}$ ou $\frac{6-2m}{2}=3-2m=m=\frac{3}{2}$

por **Gebe** » Qui Mar 29, 2018 00:42

Ok, antes da resolução em si, algo MUITO IMPORTANTE que talvez tu tenha deixado passar é o conceito de par ordenado. Quando a questão diz (2,6), ela está te dando um par ordenado que pode ser um vertice ou um ponto qualquer da função. O par ordenado é composto por duas coordenadas, X e Y ( ou X e F(X) ), sendo representada na forma (X,Y). Este par nos diz que, para o dado X, a função terá valor F(X) = Y, ou seja, se substituirmos o valor de X por 2, a função terá como resultado F(2) = 6.

Outro conceito importante que tambem esta presente na questão é a ideia de raiz da função. Raiz da função é o numero que quando atribuido a X zera a função, ou seja, se utilizarmos a ideia de par ordenado seria um (X,0) ou F(X) = 0.

Agora para a questão.
Lembre-se que temos uma formula para o vertice da função de 2° grau: $Y=-\frac{\Delta}{4a}\;,\:\,X=-\frac{b}{2a}$
Utilizaremos esta formula mais abaixo.

Com o par (2,6), temos: 4²a + 2b + c = 6

Com a raiz 5, temos: 5²a + 5b + c = 0

Perceba que temos então 2 equações e 3 incognitas, ou seja, ainda precisamos de mais uma equação para poder resolver o sistema de equações. Vamos então utilizar a formula para a coordenada X do vertice.

$x=-\frac{b}{2a}\\ \\ 2 = -\frac{b}{2a}\\ \\ -b = 2*2a\\ \\ b = -4a$

Perceba que agora podemos substituir "b" nas equações por -4a :
$\\ 4a+2b+c=6\\ 25a+5b+c=0\\ \\ 4a+2*(-4a)+c=6\\ 25a+5*(-4a)+c=0\\ \\ 4a-8a+c=6\\ 25a-20a+c=0\\ \\ -4a+c=6\\ 5a+c=0\\ \\$

Agora precisamos apenas resolver o sistema de 2 equaçoes com 2 incognitas. Podemos fazer isso, por exemplo, subtraindo a equação 1 da equação 2:
$\\ -4a+c=6\\ 5a+c=0\\ \\ (5a+c)-(-4a+c)=0-6\\ \\ 9a = -6\\ \\ a = -\frac{6}{9}\\ \\ a=-\frac{2}{3}$

Com o valor do "a", basta substituir nas outras equações para achar "b" e "c"
$\\ 5a+c=0\\ \\ 5*(-\frac{2}{3})+c=0\\ \\ c = \frac{10}{3}\\ \\$

$\\ b=-4a\\ \\ b=-4*(-\frac{2}{3})\\ \\ b=\frac{8}{3}$

Portanto $f(x)=-\frac{2}{3}x^2+\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}$

A outra questão vou responder em outra msg assim que puder.
Espero ter ajudado, qualquer duvida mande uma msg. Bons estudos.

por **Gebe** » Qui Mar 29, 2018 01:21

A segunda questão é um pouco mais simples. Para que a função seja sempre maior que 0, todo o grafico da função (toda a parabola) deve estar acima do eixo X das abscissas (eixo horizontal) no plano cartesiano, ou seja, para todo x que substituirmos na função, o resultado será sempre maior que 0.

Como o "a" da função é positivo (vale 1) sabemos que sua concavidade é voltada para cima (forma de sorriso :-D

) e, portanto, o seu vertice será o ponto mais baixo que ela atinge.
Logo podemos utilizar a formula para a coordenada Y do vertice $Y=-\frac{\Delta}{4a}$ para que Y seja sempre maior que 0.

$\\ Y=-\frac{\Delta}{4a}\\ \\ Y>0\\ \\ -\frac{\Delta}{4a}>0\\ \\ -\frac{(-6)^2-4*1*m}{4*1}>0\\ \\ -\frac{36-4m}{4}>0\\ \\ -36+4m>0*4\\ \\ 4m>36\\ \\ m>\frac{36}{4}\\ \\ m>9$

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg. Bons estudos.

por **ezidia51** » Qui Mar 29, 2018 17:50

Um super muito obrigado!!!Isso me ajudou muito!!! :y:

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