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Função quadrática

Função quadrática

Mensagempor Ananda » Sex Mar 28, 2008 16:00

Boa tarde!

Eis o exercício:

Ache os pontos comuns aos gráficos das funções f: [1; +\infty[ \,\rightarrow [-1;+\infty[ definida por f(x)= \frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}-\frac{3}{4} e sua inversa f^{-1}.

Bom, tive que procurar na internet como achar a função inversa de uma função quadrática e cheguei a:

f^{-1}(x)=1+2\,\sqrt[]{1+x}

Daí igualei as duas funções, mas não consegui resolver por causa do x dentro da raiz.
Elevei os dois lados ao quadrado, mas também não obtive sucesso.

x^2-2x-3=4(2\,\sqrt[]{1+x})

A resposta é: (3+2\,\sqrt[]{3}\,;\, 3+2\,\sqrt[]{3})


Grata desde já!

Excelente final de semana!

Ananda
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Re: Função quadrática

Mensagempor admin » Sex Mar 28, 2008 19:32

Olá Ananda, boa noite!

De fato, a função inversa que você obteve está correta.

Mas, nem é necessário obtê-la se você utilizar uma propriedade da função inversa (que pode ser provada):
Os gráficos cartesianos de f e f^{-1} são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.

Primeiro, pense sobre esta propriedade e tente utilizá-la na resolução.

Outras dicas para suas reflexões:

1) atualize os estudos sobre domínio e imagem de uma função e sua inversa.

2) Considere um caso mais simples. Desenhe os gráficos da parábola y=x^2 e sua função inversa.
Calcule e observe o ponto comum. Relacione com a propriedade citada.

Bons estudos! Vamos conversando...
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Re: Função quadrática

Mensagempor Ananda » Sex Mar 28, 2008 19:48

Hmmm...
Bom, pensei nisso da simetria dos gráficos sim, mas depois de vê-los em um programa. Vi que o ponto de intersecção é no primeiro quadrante.
Ah sim, sei que o domínio da função é o contradomínio da inversa, e vice-versa!
Mas mesmo com essas informações, ainda não consegui encontrar minha "luz" no exercício!
Mas bem, farei o que me falaste e amanhã te digo o obtido!

Grata!
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Re: Função quadrática

Mensagempor admin » Sex Mar 28, 2008 19:58

OK, a dica 1 foi apenas com o intuito de revisar.

Eu não comentei intencionalmente um pequeno detalhe que resolve o problema, mas você vai perceber como conseqüência da propriedade. Acho que será sua "luz".

Até amanhã!
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Re: Função quadrática

Mensagempor Ananda » Sex Mar 28, 2008 21:03

Eu consegui!
Ai que felicidade! rs
Como o domínio de uma é a imagem da outra, na interseção f(x) será igual a x!

Grata!
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Re: Função quadrática

Mensagempor Ananda » Sex Mar 28, 2008 21:06

Ah, e daí só considero a possibilidade positiva, porque não há raiz quadrada negativa!
Daí só resta o primeiro quadrante!
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Re: Função quadrática

Mensagempor admin » Sex Mar 28, 2008 21:25

Que ótimo, eu também fico feliz!

A propriedade diz, em outras palavras, que o eixo de simetria entre uma função e sua inversa é a reta y=x.
Ou seja, como as funções são simétricas, um ponto em comum estará necessariamente sobre a bissetriz y=x.

Até mais.
Bom final de semana!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}