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Função quadrática

Função quadrática

Mensagempor Ananda » Sex Mar 28, 2008 16:00

Boa tarde!

Eis o exercício:

Ache os pontos comuns aos gráficos das funções f: [1; +\infty[ \,\rightarrow [-1;+\infty[ definida por f(x)= \frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}-\frac{3}{4} e sua inversa f^{-1}.

Bom, tive que procurar na internet como achar a função inversa de uma função quadrática e cheguei a:

f^{-1}(x)=1+2\,\sqrt[]{1+x}

Daí igualei as duas funções, mas não consegui resolver por causa do x dentro da raiz.
Elevei os dois lados ao quadrado, mas também não obtive sucesso.

x^2-2x-3=4(2\,\sqrt[]{1+x})

A resposta é: (3+2\,\sqrt[]{3}\,;\, 3+2\,\sqrt[]{3})


Grata desde já!

Excelente final de semana!

Ananda
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Re: Função quadrática

Mensagempor admin » Sex Mar 28, 2008 19:32

Olá Ananda, boa noite!

De fato, a função inversa que você obteve está correta.

Mas, nem é necessário obtê-la se você utilizar uma propriedade da função inversa (que pode ser provada):
Os gráficos cartesianos de f e f^{-1} são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.

Primeiro, pense sobre esta propriedade e tente utilizá-la na resolução.

Outras dicas para suas reflexões:

1) atualize os estudos sobre domínio e imagem de uma função e sua inversa.

2) Considere um caso mais simples. Desenhe os gráficos da parábola y=x^2 e sua função inversa.
Calcule e observe o ponto comum. Relacione com a propriedade citada.

Bons estudos! Vamos conversando...
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Re: Função quadrática

Mensagempor Ananda » Sex Mar 28, 2008 19:48

Hmmm...
Bom, pensei nisso da simetria dos gráficos sim, mas depois de vê-los em um programa. Vi que o ponto de intersecção é no primeiro quadrante.
Ah sim, sei que o domínio da função é o contradomínio da inversa, e vice-versa!
Mas mesmo com essas informações, ainda não consegui encontrar minha "luz" no exercício!
Mas bem, farei o que me falaste e amanhã te digo o obtido!

Grata!
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Re: Função quadrática

Mensagempor admin » Sex Mar 28, 2008 19:58

OK, a dica 1 foi apenas com o intuito de revisar.

Eu não comentei intencionalmente um pequeno detalhe que resolve o problema, mas você vai perceber como conseqüência da propriedade. Acho que será sua "luz".

Até amanhã!
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Re: Função quadrática

Mensagempor Ananda » Sex Mar 28, 2008 21:03

Eu consegui!
Ai que felicidade! rs
Como o domínio de uma é a imagem da outra, na interseção f(x) será igual a x!

Grata!
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Re: Função quadrática

Mensagempor Ananda » Sex Mar 28, 2008 21:06

Ah, e daí só considero a possibilidade positiva, porque não há raiz quadrada negativa!
Daí só resta o primeiro quadrante!
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Re: Função quadrática

Mensagempor admin » Sex Mar 28, 2008 21:25

Que ótimo, eu também fico feliz!

A propriedade diz, em outras palavras, que o eixo de simetria entre uma função e sua inversa é a reta y=x.
Ou seja, como as funções são simétricas, um ponto em comum estará necessariamente sobre a bissetriz y=x.

Até mais.
Bom final de semana!
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.